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삼각함수의 합성 공식 알아보기 삼각함수의 변형 공식들 중 sin함수와 cos함수의 합 또는 차를 적당히 변형하는 공식이 있다. 삼각함수의 각이 일정할 때 하나의 삼각함수로 표현하는 삼각함수의 합성 공식에 대해 알아보자. 삼각함수의 합성공식 1.

$a\sin \theta +b\cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta + \alpha)$ (단,

$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ) 2.

$a\sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \cos (\theta - \beta )$ (단, $\cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin .. 2022. 11. 6.

삼각함수의 반각공식 유도하기 삼각함수 계산을 위해 삼각함수 식을 변형한다. 이 때 사용되는 방법 중 하나인 삼각함수의 반각공식을 알아보고 증명해보자. 반각 공식

$\rm sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos \alpha}{2}$

$\rm cos^2\frac{\alpha}{2}= \frac{1+cos \alpha}{2}$

$\rm tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos \alpha}{1+ cos \alpha}$ 반각공식을 유도하는 방법 삼각함수의 반각공식에 대한 유도는 삼각함수의 배각공식으로 가능하다. 반각공식을 유도해보자.

$\rm cos 2 \alpha = 1-2sin^2 \alpha = 2cos^2 \alpha -1$ 위의 식에서

$\alpha$ 대신에

$2\alpha$ 를.. 2022. 11. 6.

코시의 평균값 정리 알아보기 코시 평균값 정리 두 함수

$f(x)$ ,

$g(x)$ 가 닫힌 구간

$[a,b]$ 에서 연속이고, 열린구간

$(a,b)$ 에서 미분가능하며 구간에서

$g'(x) \neq 0$ 이면

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ 인

$c$ 가

$a$ ,

$b$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 코시 평균값 정리 증명하기

$h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$ 라 하자. 이 때,

$h(x)$ 는 닫힌 구간

$[a,b]$ 에서 연속이고 열린구간

$(a,b)$ 에서 미분가능하고

$h(a)=h(b)$ 이다. 따라서 롤의 정리에 의해

$h'(c)=0$ 이다.

$[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0$ 인 점

$c$ 가 열린구간

$(a,b)$ .. 2022. 11. 6.

아르키메데스 정리 증명하기(archimedes theorem) 아르키메데스 정리 임의의

$a>0$ ,

$b \in \mathbb{R}$ 에 대하여

$na>b$ 를 만족하는 적당한 자연수

$n$ 이 존재한다. 즉, 자연수는 무한히 커진다는 말과 같다. 어떤 고정된 수

$b$ 가 있다면, 그것보다 더 큰 자연수

$n$ 이 존재한다는 의미이다. 아르키메데스 정리 증명방법 적당한

$a>0$ ,

$b \in \mathbb{R}$ 가 존재해서 모든 자연수

$n$ 에 대하여

$na \leq b$ 가 성립한다고 한다. 이때

$S=\{ na | n \in \mathbb{N} \}$ 이라 하면

$b$ 는 집합

$S$ 의 상계이므로 위로 유계이다. 따라서 완비성공리에 의해

$S$ 는 상한을 갖는다. 이때

$\alpha = \rm supA$ 라 하자. $(n+1)a \leq \alpha \Rightarro.. 2022. 11. 5.

뉴턴의 방법 알아보기(방정식의 해 구하기) 방정식의 근을 찾는 방법은 보통 인수분해를 하거나 근의 공식을 알 수 있는 경우에는 근의 공식을 이용한다. 하지만 거의 대부분의 방정식은 근을 직접 찾아서 인수분해를 하기 힘들다. 방정식의 해를 구할 수 없다면, 미분 가능한 함수 일 때, 반복 작업을 통해서 해의 근삿값을 구할 수 있다. 이 방법을 뉴턴의 방법이라고 한다. 뉴턴의 방법을 알아보자. 뉴턴의 방법 1. 미분가능한 함수

$y=f(x)$ 에서 방정식

$f(x)=0$ 이다. 2. 방정식의 해를 대략적으로 추측한다. 이 해를

$a_1$ 이라 한다. 3.

$n$ 번째 근사적인 해를

$a_n$ 이라 하면,

$n+1$ 번째 근사해

$a_n$ 은

$a_{n+1} = a_n - \frac {f(a_n)}{f'(a_n)}$ 을 이용해서 정확한 근에 다가갈 수 있다. .. 2022. 11. 5.

로피탈 정리 증명하는 법 로피탈의 정리는 극한값을 구할 때 매우 유용한 공식이다. 특히 고등학생들이 풀이과정없이 극한값만을 구하려 할 때, 유용하게 쓰이는 대표적인 증명이다. 로피탈의 정리가 무엇인지, 그리고 그 증명방법에 대해 살펴보자. 부정형이란? 함수

$f(x)$ 와

$g(x)$ 가

$x=a$ 에서 연속,

$f(a)=g(a)=0$ 이면,

$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x}{g(x)}$ 를 계산할 때,

$x=a$ 를 직접 대입할 수 없다. 즉, 함수

$\frac{f(x)}{g(x)}$ 의 극한값이

$\frac{0}{0}$ ,

$\frac{\infty}{\infty}$ ,

$0 \times \infty$ ,

$\infty - \infty$ ,

$\infty^0$ ,

$1^\infty$ ,

$0^0$ 등으로 표현될 때, 부정형이라.. 2022. 11. 5.

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem) 롤의 정리란? 함수

$f(x)$ 가 닫힌 구간

$[a,b]$ 에서 연속이고 열린구간

$(a,b)$ 에서 미분가능하며

$f(a)=f(b)$ 이면,

$f'(c)=0$ 를 만족하는

$c \in (a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다. 롤의 정리 증명

$f(x)$ 를 두가지 경우로 나누어 증명한다. 1.

$f(x)$ 가 상수함수일 때 모든 구간

$(a,b)$ 에서

$f'(x)=0$ 이므로 모든

$c \in (a,b)$ 에서

$f'(c)=0$ 이다. 2.

$f(x)$ 가 상수함수가 아닐 때 최대, 최소 정리에 의해

$[a,b]$ 에서

$f(x)$ 의 최댓값, 최솟값이 존재한다. 조건에 의해

$f(a)=f(b)$ 이므로 최대값, 최솟값이 되는

$c \in (a,b)$ 가 존재한다.

$f(x)$ 가

$x=c$ 에서 최대이면, 모.. 2022. 11. 5.

최대 최소 정리 증명하기 최대 최소 정리

$f(x)$ 가

$[a,b]$ 에서 연속이면,

$f(x)$ 는 최댓값, 최솟값을 갖는다. 증명하기

$f(x)$ 가 위로 유계가 아니라고 가정하자. 모든 자연수

$n$ 에 대하여

$a_n \in [a,b]$ 이고,

$f(a_n)>n$ 인 수열

$\{ a_n \}$ 을 설정하자. 이때

$a_n$ 은 유계이므로 B-W 정리에 의해 수렴하는 부분수열

$\{ a_{n_k} \}$ 를 갖는다. 이때,

$\lim_{n \to \infty}a_{n_k}=A$ (

$A \in [a,b]$ ) 라 하면

$f$ 가 연속함수이므로

$\lim_{k \to \infty}f(a_{n_k})=f(A)$ 를 만족한다. 그러나 $\lim_{n \to \infty}f(a_{n_k})> \lim_{n \to \infty}n_k = \in.. 2022. 11. 4.

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