최대 최소 정리 증명하기

최대 최소 정리

$f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이면, $f(x)$는 최댓값, 최솟값을 갖는다.

 

증명하기

$f(x)$ 가 위로 유계가 아니라고 가정하자.

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \in [a,b]$이고, $f(a_n)>n$ 인 수열 $\{ a_n \}$을 설정하자. 이때 $a_n$은 유계이므로 B-W 정리에 의해 수렴하는 부분수열 $\{ a_{n_k} \}$ 를 갖는다. 이때, $\lim_{n \to \infty}a_{n_k}=A$ ($A \in [a,b]$) 라 하면 $f$ 가 연속함수이므로 $\lim_{k \to \infty}f(a_{n_k})=f(A)$를 만족한다. 그러나 $\lim_{n \to \infty}f(a_{n_k})> \lim_{n \to \infty}n_k = \infty$ 이므로 가정에 모순이다. 따라서 $f(x)$는 위로 유계이다. (아래로 유계도 같은 방법으로 증명)

 

$f(x)$의 상한을 $S$라 하면, 임의의 $\epsilon >0$에 대하여 $f(p)>S-\epsilon$를 만족하는 $p \in [a,b]$가 존재한다.

($\therefore$ $f$는 연속함수이다.) 따라서 $S-\frac{1}{n} < f(c_n) <S$인 $c_n \in [a,b]$를 설정할 수 있다. 이 때, B-W 정리에 의해 수렴하는 부분수열 $c_{n_k}$를 가진다. 그 극한값을 $\lim_{k \to \infty}f(c_{n_k})=C$ 라 하자. $f$가 연속함수이므로 $\lim_{k \to \infty}f(c_{n_k}=f(C)$ 이다.

 

$\lim_{n \to \infty}(S-\frac{1}{n})< \lim_{n \to \infty}f(c_n)< \lim_{n \to \infty}S$이면, 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{n \to \infty}f(c_n)=S$ 이다. ($\therefore f(C)=S (c \in [a,b])$

 

따라서 $f(x)$는 최댓값 $S$를 갖는다.

 

B-W 정리

볼차노 바이어슈트라스 정리(B-W 정리) 증명하기