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1더하기 1은 2 증명하기(1+1=2 증명) 수학에서 말하는 증명이란? 어떠한 명제가 참임을 밝히는 과정을 말한다.(여기에서 말하는 명제는 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식이다.) 1더하기1의 구성요소 4가지 1, +, =, 2 네가지 구성요소를 살펴보면, 자연수, 등호, 덧셈연산에 대해 알아보면 된다. 페아노 공리계 "주세페 페아노"라는 수학자는 자연수를 한 문장으로 정의하기 어렵기에 페아노 공리계(Peano axioms)를 제시하였다. 페아노 공리계에서는 자연수, 등호, 덧셈연산이 만족해야 하는 성질들을 규정하고 있다. 공리(Axiom)란? 수학에서 기초가 되는 명제로 이론 내에서 증명할 필요가 없이 참으로 받아들이는 명제나 원리를 말한다. 페아노의 논문에서는 총 9가지의 공리를 제시하는데, 은 1을 정의, 는 등호관계, 는 자연수의 성.. 2022. 10. 25.

벡터의 내적과 외적 활용법 벡터(Vector)는 크기와 방향을 가지는 양이다. 벡터의 성분만 주어진다면, 벡터의 내적, 외적을 쉽게 활용할 수 있다. 두 벡터

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ,

$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 일 때, 1. 벡터의 내적

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\rm cos \it \theta$

$=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ (스칼라양) 2. 벡터의 외적

$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$ (벡터양) ※ 벡터 외적의 크기

$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\rm sin \it \theta$ (외적의 크기는 평행사.. 2022. 10. 24.

헤론의 공식 증명하기 삼각형의 세 변의 길이가 주어진 경우에 넓이를 구하는 방법이 헤론의 공식이다. 헤론의 공식 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 아래와 같다.

$S=\frac{1}{2}bc \rm sin \it A$ 헤론의 공식 유도하는 방법

$\rm sin^2 \it A=1-\rm cos^2 \it A=\rm (1+cos \it A \rm )(1-cos \it A \rm )$

$=(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$ (제2코사인법칙)

$=(\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc})(\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc})$

$=\frac{1}{4b^2c^2}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

$2s=a+b+c$ 라 하면, $2(s-a)=-.. 2022. 10. 24.

일반적인 이차곡선의 접선의 방정식 유도하기 이차곡선(Quadratic Curve)이란 이차식을 도형의 방정식으로 가지는 곡선을 말한다.(ex 원, 포물선, 타원, 쌍곡선) 이차곡선의 일반식

$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ 이차곡선 위의 한 점

$(x_1,y_1)$ 을 지나는 접선의 방정식을 찾을 수 있을까? 일반적인 이차곡선 위의 한 점이 주어져 있을 때, 그 점을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. 이차곡선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$

$(x_1,y_1)$ 에서 접선의 방정식

$Ax_1x+By_1y+C(\frac{x_1y+xy_1}{2})+D(\frac{x+x_1}{2})+E(\frac{y+y_1}{2})+F=0$ 접선의 방정식을 유도하는 방법 양 변을

$x$ 에 대해서 미분하면, .. 2022. 10. 23.

별꼴 다각형(별다각형)의 내각의 합 알아보기 별꼴 다각형(별 다각형)이란 다각형의 꼭짓점을 하나 건너뛰고 차례대로 연결해서 만들어진 별 모양의 다각형을 의미한다. 별다각형의 내각의 합을 구하기 위해 알아야 할 공식 "n각형의 내각의 합"

$180\times(n-2)$ 별꼴다각형의 꼭지각의 합 구하기 별다각형의 꼭지각의 합을 구해보자. 먼저 별꼴다각형의 이웃한 꼭짓점들을 다음과 같이 선분으로 연결한다. 이때, 바깥쪽 다각형의 내각의 총합은 빨간색 10개, 검정색 5개이다. 여기서 빨간색 각을 빼는 방법을 생각하면, 삼각형의 내각의 합을 알고 있기 때문에 파란색 삼각형의 내각을 전부 뺀다. 이제 노란색 각의 합을 더하면 되는데 이 각의 합은 맞꼭지각에 의해 내부의 다각형의 합과 같다. 이 노란색 각을 더하자. 따라서 별 다각형의 내각(검은색 5개)만 .. 2022. 10. 21.

공간에서 직선, 평면의 방정식을 구하는 방법 공간에서 직선의 방정식 구하기 하나의 점과 기울기로 유일한 직선을 결정할 수 있다. 따라서 한 점(

$A$ )을 지나고 기울기가 방향벡터

$\vec{u}$ 와 같은 방향의 공간 상의 직선의 방정식을 구하는 방법을 살펴보자.

$\vec{\rm AP}=$

$\vec{u}$ 를 만족하는 실수

$t$ 가 존재한다.

$\vec{\rm AP}=$

$\vec{\rm OP}-\vec{\rm OA}=\vec{p}-\vec{a}$ 이고,

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$ 이므로

$(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)+t(a,b,c)$

$x=x_1+at, y=y_1+bt, z=z_1+ct$ 이므로

$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$

$(abc\neq0)$ 따라서 .. 2022. 10. 21.

숫자 0의 역사 알아보기 고대의 숫자 0에 대해서 고대 숫자들은 어떠한 모양일까? 중국, 로마, 바빌로니아의 1~10까지의 숫자는 다음과 같다. 이러한 고대 숫자의 단점은 자릿수마다 문자를 만들어내야만 한다. 따라서 큰 수의 표현이 어렵다. 예를 들어 로마의 숫자에서 I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 이므로 3778은 MMMDCCLXXXVIII (3778)으로 표현한다. 천의 자리 숫자만 가지고도 매우 복잡하다는 것을 알 수 있다. 고대 사람들은 큰 숫자를 쉽게 나타내는 방법을 고민하였고, 고민 끝에 수의 표기방법을 생각해내었다. 아리 아바타 1세(476 - 550) (인도의 수학자, 천문학자)는 점을 통해 자릿수를 표현하면 큰 숫자도 쉽게 나타낼 수 있을 것이라 생각하였고, 이때 이후.. 2022. 10. 20.

미분방정식의 역사와 쓸모 세상의 모든 현상들은 다양하게 변화하고 있다. 사실 세상의 모든 현상은 변화이다. 이 세계에는 시간이라는 것이 흐르고, 시간에 따라 다양한 요인들이 변화한다. 빛, 기온, 낮과 밤, 높이 등의 많은 변화들을 분석하기 위해 변화를 정확히 측정할 필요성이 생기게 되었다. 변화를 측정하기 위한 도구는 순간의 변화를 측정하는 미분이다. 미분 미분을 직관적으로 이해해보면, 그래프 위의 두 점을 지나는 직선의 기울기는 (y증가량)/(x증가량) 과 같다. x의 증가량이 매우 작아지면, 결국 그래프 위의 직선의 기울기가 접선의 기울기와 같다. 이 방법이 미분의 원리이자 순간의 변화를 측정하는 방법이 된다. 보통은 시간에 따라 현상이 변화하므로 가로축을 시간이라고 설정하고, 세로축을 현상의 변화라고 생각한다면, 다양한 .. 2022. 10. 13.

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