롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)

롤의 정리란?

롤의 정리

함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$ 이면, $f'(c)=0$  를 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다.

 

롤의 정리 증명

$f(x)$를 두가지 경우로 나누어 증명한다.

 

1. $f(x)$ 가 상수함수일 때

모든 구간 $(a,b)$에서 $f'(x)=0$ 이므로 모든 $c \in (a,b)$에서 $f'(c)=0$ 이다.

 

2. $f(x)$ 가 상수함수가 아닐 때

최대, 최소 정리에 의해 $[a,b]$에서 $f(x)$ 의 최댓값, 최솟값이 존재한다. 조건에 의해 $f(a)=f(b)$ 이므로 최대값, 최솟값이 되는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다. $f(x)$가 $x=c$에서 최대이면, 모든 $x \in [a,b]$ 에서 $f(x)$ $\leq f(c)$ 이다.

이때, $x>c$ 이면, $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ $ \leq  0$ 이므로 $\lim_{x \to c+} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0$ 이다.

$x<c$이면 $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ 이므로 $\lim_{x \to c-} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ 이다.

또한 $f$ 는 $x=c$ 에서 미분가능이므로 (가정에서) $f'(c)= \lim_{x \to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0$ 이다.

따라서 $f'(c)=0$ 인 $c \in (a,b)$ 가 존재한다.

 

<최대최소정리 증명법>

최대 최소 정리 증명하기