삼각함수의 합성 공식 알아보기

삼각함수의 변형 공식들 중 sin함수와 cos함수의 합 또는 차를 적당히 변형하는 공식이 있다. 삼각함수의 각이 일정할 때 하나의 삼각함수로 표현하는 삼각함수의 합성 공식에 대해 알아보자.

 

삼각함수의 합성공식

1. $a\sin \theta +b\cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta + \alpha)$

(단, $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$)

 

2. $a\sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \cos (\theta - \beta )$

(단, $\cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$)

 

삼각함수의 합성공식 유도하기

1. $a\sin \theta +b\cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta + \alpha)$

삼각함수 합성1

점 $P(a,b)$에서 선분 $OP$와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\alpha$일 때, 선분 $OP$의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2}$ 이다. 이때 $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 으로 표현가능하다.

 

주어진 식을 변형하면,

$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \cos \theta)$

$= \sqrt{a^2+b^2} (\cos \alpha \sin \theta + \sin \alpha \cos \theta) = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta + \alpha)$ 이다.

 

2. $a\sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \cos (\theta - \beta )$

 

삼각함수 합성2

점 $Q(b,a)$에서 선분 $OQ$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각이 $\beta$일 때, 선분 $OP$의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2}$ 이다. 이때 $\cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 으로 표현가능하다.

 

주어진 식을 변형하면,

$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \cos \theta)$

$= \sqrt{a^2+b^2} (\sin \beta \sin \theta + \cos \beta\cos \theta) = \sqrt{a^2+b^2} \cos(\theta - \beta)$ 이다.