삼각함수의 반각공식 유도하기

삼각함수 계산을 위해 삼각함수 식을 변형한다. 이 때 사용되는 방법 중 하나인 삼각함수의 반각공식을 알아보고 증명해보자.

 

반각 공식

$\rm sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos \alpha}{2}$

$\rm cos^2\frac{\alpha}{2}= \frac{1+cos \alpha}{2}$

$\rm tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos \alpha}{1+ cos \alpha}$

 

반각공식을 유도하는 방법

삼각함수의 반각공식에 대한 유도는 삼각함수의 배각공식으로 가능하다. 반각공식을 유도해보자.

 

$\rm cos 2 \alpha = 1-2sin^2 \alpha = 2cos^2 \alpha -1$

위의 식에서 $\alpha$ 대신에 $2\alpha$ 를 대입한 후 정리한다.

 

$\rm cos \alpha = 1-2sin^2 \frac{\alpha}{2} = 2cos^2 \frac{\alpha}{2} -1 $ 이다.

 

제곱이 포함된 항으로 정리를 하면, 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$\rm sin^2 \frac{1-cos\alpha}{2}$ 이고, $\rm cos^2 \frac{1+cos \alpha}{2} $

 

또한 탄젠트 반각공식을 유도하기 위해 $\rm tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ 를 이용하면,

 

$\rm tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{sin^2 \frac{\alpha}{2}}{cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}$ 임을 알 수 있다.

 

탄젠트 반각공식을 다르게 접근할 수 있는데 다음 식 역시 유용하게 사용된다.

 

탄젠트 반각공식2

$\rm tan \alpha = \frac{sin \alpha}{1+cos \alpha}$

 

탄젠트 반각공식2 를 유도하는 법

$\rm tan \frac{\alpha}{2} = \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2 sin \frac{\alpha}{2}cos \frac{\alpha}{2}}{2cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{sin \alpha}{1+cos \alpha}$