로피탈 정리 증명하는 법

로피탈의 정리는 극한값을 구할 때 매우 유용한 공식이다. 특히 고등학생들이 풀이과정없이 극한값만을 구하려 할 때, 유용하게 쓰이는 대표적인 증명이다. 로피탈의 정리가 무엇인지, 그리고 그 증명방법에 대해 살펴보자.

 

부정형이란?

함수 $f(x)$와 $g(x)$ 가 $x=a$에서 연속, $f(a)=g(a)=0$이면, $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x}{g(x)}$를 계산할 때, $x=a$를 직접 대입할 수 없다. 즉, 함수 $\frac{f(x)}{g(x)}$의 극한값이 $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $\infty^0$, $1^\infty$, $0^0$ 등으로 표현될 때, 부정형이라고 한다. 이 중 함수 $\frac{f(x)}{g(x)}$에서 $x=a$를 대입할 때, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ 가 극한값이 되는 경우 로피탈의 정리를 이용해서 극한값을 구할 수 있다.

 

1. 부정형 $\frac{0}{0}$ 인 경우의 로피탈 정리

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 점 $x=a$ 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고,

$f(a)=g(a)=0$, $g'(x) \neq 0 (x \neq 0)$ 이며 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$가 존재하면,

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 를 만족한다.

 

증명방법

점 $a$의 근방 $x$에서 코시 평균값 정리를 이용하면, $a<c<x$ (또는 $x<c<a$ )인 어떤 점 $c$에 대하여 $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$를 만족한다. $f(a)=g(a)=0$ 이고, $g'(x) \neq 0$이므로 롤의 정리에 따라 $g(x) \neq g(a) =0$이고, $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$이다. 이 때, $x \rightarrow a$ 이면, $c \rightarrow a$이므로 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a}\frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$를 만족한다. 따라서 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 이다.

 

2. 부정형 $\frac{\infty}{\infty}$ 인 경우의 로피탈 정리

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 점 $x=a$ 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고,

$\lim_{x \to a}f(x) = \pm \infty$, $\lim_{x \to a}g(x) = \pm \infty$ 이며 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$가 존재하면,

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 를 만족한다.

 

증명방법

$0< \epsilon <1$ 을 만족하는 $\epsilon$을 가정하자. $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ 이라 하면, 주어진 $\epsilon >0$ 에 대응되는 적당한 $\delta >0$ 가 존재하여 $|x-a|< \delta \Rightarrow |\frac{f'(x)}{g'(x)}-L|< \frac{\epsilon}{2}$를 만족한다.

따라서 $|x-a|< \delta \Rightarrow$ $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ $\leq |L|+\frac{\epsilon}{2} < |L| + \frac{1}{2}$ 이다.

 

또한  $\lim_{x \to a}f(x)= \infty$ 이므로 적당한 $\delta_1 >0 (\delta_1 < \delta)$ 가 존재해서 $|x-a|<\delta_1 \Rightarrow f(x) > |f(a+\delta) |$ 가 성립한다. 즉, $f(x)-f(a+\delta) \neq 0$ 이다.

 

임의의 $x \in (a-\delta_1 , a+\delta_1 )$에서 $f$와 $g$는 코시평균값 정리의 가정을 만족하므로 $\frac{f(x)-f(a+\delta)}{g(x)-g(a+delta)} = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{1-\frac{f(a+\delta)}{f(x)}}{1-\frac{g(a+\delta)}{g(x)}}=\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}$ 인 점 $c_x \in (x+a+\delta)$가 존재한다. 따라서 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} \cdot \frac{1-\frac{g(a+\delta)}{g(x)}}{1-\frac{f(a+\delta)}{f(x)}}$ 가 성립한다.

 

$\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = \infty$ 이므로 $\lim_{x \to a} \frac{\frac{g(a+\delta)}{g(x)}}{\frac{f(a+\delta)}{f(x)}}=1$ 이다. $\delta_2 < \delta_1$ 인 $\delta_2 >0$ 가 존재해서 $|x-a|<\delta_2 \Rightarrow |\frac{1-\frac{g(a+\delta)}{g(x)}}{1-\frac{f(a+\delta)}{f(x)}}-1| \leq \frac{\epsilon}{2(|L|+\frac{1}{2})}$ 가 성립하도록 잡을 수 있다.

 

임의의 실수 $y$, $z$는 $|yz-L| \leq |yz-y|+|y-L| \leq |y||z-1|+|y-L|$ 이다. $|x-a|<\delta_2 \Rightarrow |\frac{f(x)}{g(x)}-L| \leq |\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}|\cdot |\frac{1-\frac{g(a+\delta)}{g(x)}}{1-\frac{f(a+\delta)}{f(x)}}-1| + |\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}-L| < (|L|+\frac{1}{2}) \cdot \frac{\epsilon}{2(|L|+\frac{1}{2})}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ 이다.

 

따라서 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ 이다.

 

<코시 평균값 정리>

코시의 평균값 정리 알아보기

<롤의 정리>

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)