뉴턴의 방법 알아보기(방정식의 해 구하기)

방정식의 근을 찾는 방법은 보통 인수분해를 하거나 근의 공식을 알 수 있는 경우에는 근의 공식을 이용한다. 하지만 거의 대부분의 방정식은 근을 직접 찾아서 인수분해를 하기 힘들다. 방정식의 해를 구할 수 없다면, 미분 가능한 함수 일 때, 반복 작업을 통해서 해의 근삿값을 구할 수 있다. 이 방법을 뉴턴의 방법이라고 한다. 뉴턴의 방법을 알아보자.

 

뉴턴의 방법

뉴턴의 방법

1. 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 에서 방정식 $f(x)=0$이다.

2. 방정식의 해를 대략적으로 추측한다. 이 해를 $a_1$이라 한다.

3. $n$번째 근사적인 해를 $a_n$이라 하면, $n+1$번째 근사해 $a_n$ 은 $a_{n+1} = a_n - \frac {f(a_n)}{f'(a_n)}$ 을 이용해서 정확한 근에 다가갈 수 있다.

 

대략적으로 $f(x)=0$ 의 근을 $a_1$이라 하면, 함수 $y=f(x)$ 위의 점 $(a_1, f(a_1))$ 에서 접선의 기울기는 $f'(a_1)$이고, 접선의 방정식을 구하면, $y-f(a_1) = f'(a_1)(x-a_1)$이다. 이 접선이 $x$축과 만나는 점은 $(a_2,0)$이다. 이 점을 접선의 방정식에 대입하면, $0-f(a_1)=f'(a_1)(a_2-a_1)$이다. 이 식을 $a_1$에 대해 정리하면, 

$a_2=a_1 - \frac {f(a_1)}{f'(a_1)}$, $f'(x_1) \neq 0$이다.

 

이 과정을 계속 반복하면, $a_{n+1}= -\frac {f(a_n)}{f'(a_n)}$이다. 이 식을 계속 반복하면, $a_n$이 방정식 $f(x)=0$의 근사해가 된다.

 

이런 방법으로 해를 구하는 것을 '뉴턴의 방법'이라고 한다.