코시의 평균값 정리 알아보기

코시 평균값 정리

두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하며 구간에서 $g'(x) \neq 0$이면 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ 인 $c$가 $a$, $b$사이에 적어도 하나 존재한다.

 

코시 평균값 정리 증명하기

$h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$ 라 하자. 이 때, $h(x)$는 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하고 $h(a)=h(b)$ 이다. 따라서 롤의 정리에 의해 $h'(c)=0$ 이다.

 

$[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0$ 인 점 $c$가 열린구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다. 따라서 구간 내의 모든 점에서 $g'(x) \neq 0 $이고 $g(b)-g(a) \neq 0 $이면, $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ 인 $c$가 존재한다.

 

코시 평균값정리의 기하학적 의미

코시 평균값 정리의 기하학적 의미

미분가능한 두 함수 $f, g : [a,b] \rightarrow R$에서 $(f(t),g(t)) (a \leq t \leq b)$로 주어진 곡선이 있을 때, 점 $(f(a),g(a))$에서 점 $(f(b)-g(b))$까지의 곡선 위의 점에서 접선의 방향벡터는 $(f'(t),g'(t))$와 같다.

 

코시 평균값 정리는 곡선의 접선 중에 두 점 $(f(a),g(a))$, $(f(b),g(b))$를 잇는 직선과 평행한 점이 적어도 구간 내에 하나 존재한다는 것과 같다.

 

<롤의 정리>

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)