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점화식의 특성다항식 이용해 일반항 구하는 방법 특성다항식의 정의 $c_1, c_2, c_3, \cdots, c_k$ 가 상수이며 $c_k \neq 0$일 때, 다항식 $x^k - c_1x^{k-1} - c_2x^{k-2} - \cdots - c_{k-1}x -c_k $를 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+ \cdots + c_{k-1}a_{n-k+1} + c_ka_{n-k}$ 의 특성다항식이라 한다. 예를 들어 점화식 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$의 특성다항식은 $x^2-x-1$이라고 한다. 특성다항식의 다양한 정리에 대해 알아보자. 특성다항식 정리 1 $c_1, c_2$가 상수이고, $c_2 \neq 0$일 때 $a_n = c_1a_{n-1}+ c_2a_{n-2}$ ($n \geq 2$)라 하자. 이때 .. 2022. 12. 15.
일차 방정식의 역사 알아보기 방정식이라는 단어는 1세기경에 중국의 '구장산술'이라는 책에서 처음 사용되었다고 알려져있다. 방정식이라는 단어는 방정은 두 수를 비교해 서로 같은 수로 만드는 법을 의미한다. 일차방정식의 역사 일차방정식은 기원전 1650년 경에 11개의 일차방정식 문제가 '린드 파피루스'에 기록되어 있는데, 그 중 가장 오래된 일차방정식 문제는 '아하' 문제이다. '아하' 문제 '아하' 와 '아하'의 $\frac{1}{7}$ 을 더해서 19일 때, '아하'는 얼마인지 구하시오. 이 문제는 결국 $x+\frac{1}{7}x = 19$라는 일차방정식 문제와 같다. 하지만, 이집트 사람들은 문자를 $x$로 나타내지 못했기 때문에 가정법을 사용해서 문제를 해결하였는데, 당시 문제해결방법은 다음과 같다. 먼저 답을 7이라고 가정.. 2022. 12. 14.
수학 기호 사용의 역사 덧셈 기호( +, - ) 사용의 역사 덧셈, 뺄셈 기호 +, - 는 수학자 비트만(Widmann, J.) (1462~1498)에 의해 처음으로 사용되었다. 이는 1489년 출간한 비트만의 산술 책에 처음 등장하였는데, 덧셈을 표현하는 +는 덧셈이라는 라틴어 et로부터 나왔고, -는 뺄셈인 minus의 m을 쓰다가 - 로 바뀌었다고 한다. 사용은 비트만이 먼저 했지만, 이를 보편화시킨 것은 비에타(vieta) (1540~1603)이다. 또한 네덜란드 수학자 호이케(Hoeche)의 저서에서 연산 기호로 최초로 사용되었다. 곱셈 기호( X ) 사용의 역사 곱셈기호는 1631년 영국의 수학자 오트레드(Oughtred, W) (1574~1660)에 의해 처음 사용되었다. 그의 저서 "key to mathemati.. 2022. 12. 13.
수학에서 문자 사용의 의미 알아보기 수학에서 사용되는 문자는 수와 마찬가지로 중요한 기호로 사용된다. 계산이 가능하면서 그 자체로 의미를 지니고 있기 때문에 수학에서 중요하게 사용된다. 문자가 사용되는 목적을 간단하게 살펴보자. 1. 일반성을 가짐 문자를 이용해서 식으로 표현할 수 있어 식의 일반성을 가질 수 있다. 2. 명확하게 표현함 문자를 이용하면 식이나 문제 상황을 숫자만 사용하는 것보다 명확하게 표현할 수 있다. 3. 추상성을 표현가능 함 구체적인 상황이 아닌 상황에서도 추상적인 식을 구체적인 문자로 정의하여 문제 및 식을 표현할 수 있다. 4. 통합성을 가짐 다양한 상황을 문자를 포함한 식이나 방정식 등으로 표현하면, 구조적으로 문제상황을 이해할 수 있다. 5. 엄밀성을 가짐 문자를 이용하면, 식으로 표현된 내용 범위를 엄밀하게.. 2022. 12. 12.
정수의 개념과 정수의 성질 정수의 정의 정수는 자연수에서 확장된 개념이다. 일반적으로 정수는 두 수의 차에 의해 생성된다. $+2 = 3-1 = 4-2 = 5-3 = 6-4 = 7-5 = \cdots$ $0 =1-1 = 2-2 = 3-3 =4-4 = \cdots$ $-2 =1-3 = 2-4 =3-5 = 4-6 = 5 - 7 = \cdots$ 이를 집합, 원소를 순서쌍으로 표현하면, $+2 = \{ (3,1) , (4,2),(5,3),(6,4), \cdots \}$ $0 = \{ (1,1),(2,2) , (3,3), (4,4) , \cdots \}$ $-2 = \{ (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7) , \cdots \}$ 이다. 따라서 정수의 집합은 자연수의 곱집합으로 나타낼 수 있다. $N \times .. 2022. 12. 11.
음수의 역사 알아보기(음수의 발견) 1,2,3,4 등의 자연수와 0은 우리 생활에서 자연스럽게 접할 수 있기에 숫자로 인정받는것이 자연스럽고 당연한 일이었다. 하지만, 음수는 역사적으로 숫자로 인정받기 위해 많은 시간이 걸렸다. 수학자들은 음수를 인정하지 않았는데, 특히 방정식을 풀때 나오는 음수들은 근으로 인정하지도 않아 허근이라고 생각했다.(이때의 허근(음수 근)은 지금의 허근과 다르다.) 음수의 등장 7세기에 인도 수학자인 브라마굽타가 처음으로 양수, 음수의 부호를 사용하고, 계산법칙 과정을 기록했지만, 역시 이차방정식에서 나오는 음수근을 근으로 인정하지 않았다. 하지만, 음수의 개념이 13세기에 이탈리아의 수학자 피보나치(Fibonacci) (1170~1250)에 의해 유럽에 처음으로 소개되었다. 비트만(Wodmann) (1462~.. 2022. 12. 10.
큰수의 표현방법, 단위 알아보기(조, 경, 해 이상 ) 큰 숫자를 표시하는 단위에 대해 알아보자. 일~조까지의 표현 1 : 일 10 : 십 100 : 백 1,000 : 천 10,000 : 만 100,000 : 십만 1,000,000 : 백만 10,000,000 : 천만 100,000,000 : 억 1,000,000,000 : 십억 10,000,000,000 : 백억 100,000,000,000 : 천억 1,000,000,000,000 : 조 10,000,000,000,000 : 십조 이렇게 숫자가 커지게 된다. 일, 십, 백, 천, 만까지는 계속 단위에 따라 이름이 붙으며, 만 이후로는 십, 백, 천을 붙여서 단위가 변경되므로 만의 만배가 억이다. 큰 수 단위 만의 만배 : 억 억의 만배 : 조 조의 만배 : 경 경의 만배 : 해 해의 만배 : 자 자의 만배.. 2022. 12. 9.
소수의 종류 알아보기 다양한 소수의 종류에 대해 알아보자. 소수란 무엇인가? 소수란 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 말한다. 소수들을 곱해서 합성수들을 모두 만들어 낼 수 있기 떄문에 소수는 수의 원자라고 불리기도 한다. 쌍둥이 소수 자연수 $p$와 $p+2$가 모두 소수일 때, 두 수를 모두 쌍둥이 소수라고 한다. 쌍둥이 소수에는 다음 수들이 있다. 현재까지 알려진 쌍둥이 소수중에 가장 큰 소수는 $3,756,801,695,685 \times 2^{666,669} \pm 1$ 이다. 하지만, 쌍둥이 소수가 무한히 존재하는지는 알려지지 않았다. 쌍둥이 소수 중 알려진 일화는 1994년에 토마스 나이슬리라는 미국의 수학자는 쌍둥이 소수의 역수의 합을 계산하다가 컴퓨터가 나눗셈을 할 때의 오류를 발견하게 된다. 컴퓨터의 .. 2022. 12. 8.
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