Processing math: 100%
본문 바로가기
수학

점화식의 특성다항식 이용해 일반항 구하는 방법

by 여행과 수학 2022. 12. 15.
반응형

특성다항식의 정의

c1,c2,c3,,ck 가 상수이며 ck0일 때, 다항식 xkc1xk1c2xk2ck1xck를 점화식 an=c1an1+c2an2++ck1ank+1+ckank 의 특성다항식이라 한다. 예를 들어 점화식 an=an1+an2의 특성다항식은 x2x1이라고 한다.

 

특성다항식의 다양한 정리에 대해 알아보자.

 

특성다항식 정리 1

c1,c2가 상수이고, c20일 때 an=c1an1+c2an2 (n2)라 하자. 이때 r0r에 대하여 r2c1rc2=0일 필요충분조건은 수열 {rn}이 점화식 an=c1an1+c2an2 를 만족하는 것이다.

 

특성다항식 정리 2

c1,c2가 상수이고 c20일 때 an=c1an1+c2an2 (n2)라 하자. 이때 서로 다른 두 수열 {rn}, {sn}이 점화식 an=c1an1+c2an2를 만족하면, 수열 {prn+qsn} 역시 점화식 an=c1an1+c2an2를 만족한다.

 

특성다항식 정리 3

c1,c2가 상수이고, c20일 때 an=c1an1+c2an2 (n2)라 하자. 이때 수열 {tn} 이 점화식 an=c1an1+c2an2를 만족시키고 방정식 x2c1xc2=0이 서로 다른 두 실근 r, s를 가진다고 하면 tn=prn+qsn을 성립하는 상수 p, q가 존재한다. 즉, 점화식 an=c1an1+c2an2의 일반항을 tn=prn+qsn의 형태로 나타낼 수 있다.

 

특성다항식 정리 4

c1,c2,c3,,ck가 상수이고 ck0일 때 an에 대한 점화식 an=c1an1+c2an2++ck1ank+1+ckank의 특성다항식을 p(x)라 하자. p(x)=0의 한 근 rm차 다중근을 갖는다. 다시 말해 p(x)=(xr)mq(x) (단, q(x)0) 이다.

1) m개의 수열 {rn}, {nrn}, {n2rn}, ,{nm1rn}은 점화식을 만족한다.

2) (α0+α1n+α2n2++αm1nm1)rn은 점화식을 만족한다. (단, αi 는 상수이다.)

728x90

댓글