특성다항식의 정의
c1,c2,c3,⋯,ck 가 상수이며 ck≠0일 때, 다항식 xk−c1xk−1−c2xk−2−⋯−ck−1x−ck를 점화식 an=c1an−1+c2an−2+⋯+ck−1an−k+1+ckan−k 의 특성다항식이라 한다. 예를 들어 점화식 an=an−1+an−2의 특성다항식은 x2−x−1이라고 한다.
특성다항식의 다양한 정리에 대해 알아보자.
특성다항식 정리 1
c1,c2가 상수이고, c2≠0일 때 an=c1an−1+c2an−2 (n≥2)라 하자. 이때 r≠0인 r에 대하여 r2−c1r−c2=0일 필요충분조건은 수열 {rn}이 점화식 an=c1an−1+c2an−2 를 만족하는 것이다.
특성다항식 정리 2
c1,c2가 상수이고 c2≠0일 때 an=c1an−1+c2an−2 (n≥2)라 하자. 이때 서로 다른 두 수열 {rn}, {sn}이 점화식 an=c1an−1+c2an−2를 만족하면, 수열 {prn+qsn} 역시 점화식 an=c1an−1+c2an−2를 만족한다.
특성다항식 정리 3
c1,c2가 상수이고, c2≠0일 때 an=c1an−1+c2an−2 (n≥2)라 하자. 이때 수열 {tn} 이 점화식 an=c1an−1+c2an−2를 만족시키고 방정식 x2−c1x−c2=0이 서로 다른 두 실근 r, s를 가진다고 하면 tn=prn+qsn을 성립하는 상수 p, q가 존재한다. 즉, 점화식 an=c1an−1+c2an−2의 일반항을 tn=prn+qsn의 형태로 나타낼 수 있다.
특성다항식 정리 4
c1,c2,c3,⋯,ck가 상수이고 ck≠0일 때 an에 대한 점화식 an=c1an−1+c2an−2+⋯+ck−1an−k+1+ckan−k의 특성다항식을 p(x)라 하자. p(x)=0의 한 근 r이 m차 다중근을 갖는다. 다시 말해 p(x)=(x−r)mq(x) (단, q(x)≠0) 이다.
1) m개의 수열 {rn}, {nrn}, {n2rn}, ⋯ ,{nm−1rn}은 점화식을 만족한다.
2) (α0+α1n+α2n2+⋯+αm−1nm−1)rn은 점화식을 만족한다. (단, αi 는 상수이다.)
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