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소수의 개수는 무한히 많이 있다. 또한 4n+3꼴의 소수 역시 무한개이다. 이를 증명해보자.
4n+3꼴의 소수 역시 무한히 많다.
(증명)
4n+3 형태의 소수가 유한개라고 가정하자. 이 형태의 소수 전체를 q1,q2,⋯,qs 라 하면, 이때 N=4q1q2⋯qs−1=4(q1q2⋯qs−1)+3이라 두고 N=p1p2⋯pk (이때 p1,p2,⋯,pk는 소수) 라 하면, N이 홀수이므로 N의 소인수 p1, p2, ⋯, pk는 모두 홀수인 소수이고, 따라서 이 소수의 형태는 4n+1 또는 4n+3 형태 중 하나인 소수이다.
4n+1인 형태의 두 정수의 곱은 4n+1 형태인 정수이고, N은 4n+3의 꼴인 정수이므로 N의 소인수 중 적어도 하나가 4n+3 꼴인 정수가 된다. p1, p2, ⋯ ,pk 중에서 pi가 4n+3 꼴인 소수라 하면, pi=qj인 소수 qj (1≤j≤s)가 존재하므로 pi|N, pi|q1q2⋯qs 이다. 하지만 이는 pi|1 을 의미하므로 이는 모순이다. 따라서 4n+3 형태의 소수는 무한히 많다.
이러한 증명방법을 사용하면, 6n+5 형태의 소수 역시 무한히 많음을 증명할 수 있다.
<Dirichlet 정리>
서로 다른 양의 정수 a,b에 대하여 an+b (n은 음이 아닌 정수) 형태의 소수는 무한히 많다.
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