4n+3 형태의 소수는 무한임을 증명하기

소수의 개수는 무한히 많이 있다. 또한 $4n+3$꼴의 소수 역시 무한개이다. 이를 증명해보자.

$4n+3$꼴의 소수 역시 무한히 많다.

(증명)

$4n+3$ 형태의 소수가 유한개라고 가정하자. 이 형태의 소수 전체를 $q_1, q_2, \cdots, q_s $ 라 하면, 이때 $N = 4q_1q_2 \cdots q_s -1 = 4(q_1q_2 \cdots q_s -1) +3 $이라 두고 $N = p_1p_2 \cdots p_k$ (이때 $p_1, p_2, \cdots, p_k$는 소수) 라 하면, $N$이 홀수이므로 $N$의 소인수 $p_1$, $p_2$, $\cdots$, $p_k$는 모두 홀수인 소수이고, 따라서 이 소수의 형태는 $4n+1$ 또는 $4n+3$ 형태 중 하나인 소수이다.

$4n+1$인 형태의 두 정수의 곱은 $4n+1$ 형태인 정수이고, $N$은 $4n+3$의 꼴인 정수이므로 $N$의 소인수 중 적어도 하나가 $4n+3$ 꼴인 정수가 된다. $p_1$, $p_2$, $\cdots$ ,$p_k$ 중에서 $p_i$가 $4n+3$ 꼴인 소수라 하면, $p_i = q_j$인 소수 $q_j$ ($1 \leq j \leq s$)가 존재하므로 $p_i | N$, $p_i | q_1q_2\cdots q_s$ 이다. 하지만 이는 $p_i | 1$ 을 의미하므로 이는 모순이다. 따라서 $4n+3$ 형태의 소수는 무한히 많다.

 

이러한 증명방법을 사용하면, $6n+5$ 형태의 소수 역시 무한히 많음을 증명할 수 있다.

 

<Dirichlet 정리>

서로 다른 양의 정수 $a, b$에 대하여 $an+b$ ($n$은 음이 아닌 정수) 형태의 소수는 무한히 많다.