여러가지 함수의 급수 전개

맥크로린 급수(Maclaurin's series)

함수 $f(x)$에 대해서

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n + \cdots$

 

여러가지 함수의 급수 전개

삼각함수, 지수함수, 유리함수, 무리함수 등을 급수전개할 수 있다. 테일러, 매크로린 급수 전개를 이용해서 다양한 함수의 급수전개식을 살펴보자.

 

1. $\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

 

2. $\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

 

3. $\tan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!} B_nx^{2n-1}$,  ($|x|<\frac{\pi}{2}$)

    $=x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots$

 

4. $ \cot x = 1- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}}{(2n)!} B_n x^{2n}$,  ($|x| < \pi$)

 

5. $\sin \pi x = \pi x \Pi_{k=1}^{\infty} (1-\frac{x^2}{k^2})$

 

6. $\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+x^4 - \cdots $

 

7. $\frac{1}{(1+x)^2} = 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4 - \cdots $

 

8. $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1-\frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}x^4 - \cdots $

 

9. $\sqrt{1+x} = 1+\frac{1}{2} x - \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4}x^2 + \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \cdots$

 

10. $\frac{x}{1-x} = \frac{x}{1+x} + \frac{2x^2}{1+x^2} + \frac{4x^4}{1+x^4} + \cdots$

      $=\frac{x}{1-x^2} + \frac{x^2}{1-x^4} + \frac{x^4}{1-x^8} + \cdots$,  ($x^2<1$)

 

11. $\frac{1}{x-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2+1} + \frac{4}{x^4+1} + \cdots $,  ($x^2>1$)

 

12. $\tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

 

13. $e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

 

14. $\ln (x+1) = x-\frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + \cdots $

 

사인, 코사인, 탄젠트 함수의 매클로린 급수와 1/x+1, 1/(1+x)^2, 1/sqrt(1+x) , 로그함수 등의 매크로린 급수을 알 수 있다.