파스칼의 육각형 정리 증명방법

파스칼의 육각형 정리란?

(또는 파스칼의 정리라고 불린다.)

파스칼의 육각형 정리

 

원의 내접육각형 ABCDEF에서 직선 AB와 DE, 직선 BC와 EF, 직선 CD와 FA 의 교점이 각각 H, K, I 일 때, H, K, I 는 한 직선 위에 있다.

 

<증명>

삼각형 XYZ는 직선 AB, CD, EF 로 이루어진 삼각형이다.

 

직선 FA는 삼각형 XYZ를 자르므로 메넬라오스 정리에 의해

$\frac{XA}{AZ} \times \frac{ZF}{FY} \times \frac{YI}{IX} = 1$ 이다.

 

직선 BC는 삼각형 XYZ를 자르므로 메넬라오스 정리에 의해

$\frac{XB}{BZ} \times \frac{ZK}{KY} \times \frac{YC}{CX} =1$

 

직선 ED는 삼각형 XYZ를 자르므로 메넬라오스 정리에 의해

$\frac{XH}{HZ} \times \frac{ZE}{EY} \times \frac{YD}{DX} =1$

 

또한, 두 할선에 대한 방멱정리에 의해 

$XA \times XB = XC \times XD$

$YE \times YF = YD \times YC$

$ZF \times ZE = ZA \times ZB$

 

위를 정리하면, $\frac{YI}{IX} \times \frac{XH}{HZ} \times \frac{ZK}{KY} = 1$ 이다.

 

따라서 메넬라오스 역정리에 의해 I, K, H 는 한 직선 위에 존재한다.