점화식의 특성다항식 이용해 일반항 구하는 방법

특성다항식의 정의

$c_1, c_2, c_3, \cdots, c_k$ 가 상수이며 $c_k \neq 0$일 때, 다항식 $x^k - c_1x^{k-1} - c_2x^{k-2} - \cdots - c_{k-1}x -c_k $를 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+ \cdots + c_{k-1}a_{n-k+1} + c_ka_{n-k}$ 의 특성다항식이라 한다. 예를 들어 점화식 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$의 특성다항식은 $x^2-x-1$이라고 한다.

 

특성다항식의 다양한 정리에 대해 알아보자.

 

특성다항식 정리 1

$c_1, c_2$가 상수이고, $c_2 \neq 0$일 때 $a_n = c_1a_{n-1}+ c_2a_{n-2}$ ($n \geq 2$)라 하자. 이때 $r \neq 0$인 $r$에 대하여 $r^2-c_1r-c_2=0$일 필요충분조건은 수열 $\{ r^n \}$이 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2 a_{n-2}$ 를 만족하는 것이다.

 

특성다항식 정리 2

$c_1, c_2$가 상수이고 $c_2 \neq 0$일 때 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} $ ($n \geq 2$)라 하자. 이때 서로 다른 두 수열 $\{ r^n  \}$, $\{  s^n \}$이 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}$를 만족하면, 수열 $\{ pr^n +qs^n  \}$ 역시 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}$를 만족한다.

 

특성다항식 정리 3

$c_1, c_2$가 상수이고, $c_2 \neq 0$일 때 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}$ ($n \geq 2$)라 하자. 이때 수열 $\{ t_n  \}$ 이 점화식 $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2a_{n-2}$를 만족시키고 방정식 $x^2-c_1x-c_2=0$이 서로 다른 두 실근 $r$, $s$를 가진다고 하면 $t_n = pr^n +qs^n$을 성립하는 상수 $p$, $q$가 존재한다. 즉, 점화식 $a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}$의 일반항을 $t_n = pr^n +qs^n$의 형태로 나타낼 수 있다.

 

특성다항식 정리 4

$c_1, c_2, c_3, \cdots , c_k$가 상수이고 $c_k \neq 0$일 때 $a_n$에 대한 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + \cdots + c_{k-1}a_{n-k+1} +c_ka_{n-k}$의 특성다항식을 $p(x)$라 하자. $p(x) = 0$의 한 근 $r$이 $m$차 다중근을 갖는다. 다시 말해 $p(x) = (x-r)^m q(x)$ (단, $q(x) \neq 0 )$ 이다.

1) $m$개의 수열 $\{ r^n \}$, $\{ nr^n \}$, $\{ n^2r^n \}$, $\cdots$ ,$\{  n^{m-1}r^n \}$은 점화식을 만족한다.

2) $(\alpha _0+\alpha _1n+\alpha_2 n^2 + \cdots + \alpha_{m-1}n^{m-1})r^n$은 점화식을 만족한다. (단, $\alpha _i$ 는 상수이다.)