방멱정리 증명 방법 알아보기

방멱이란 무엇인가?

방멱이란 어떤 한 점 $\rm P$를 지나는 직선이 중심이 $\rm O$인 어떤 원과 만나는 두 점을 각각 A, B라 할 때, 두 선분의 곱 $\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB}$ 이다.

 

1. 두 현에 대한 방멱정리

두 현에 대한 방멱정리

$\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB} = \overline{\rm PC} \cdot \overline{\rm PD}$

 

증명

$\overline{\rm AC}$, $\overline{\rm BC}$를 그은 후 원주각을 이용한다.

$\angle \rm CAB = \angle CDB$이고 맞꼭지각에 의해 $\angle \rm APC = \angle DPB$ 이다.

따라서 $\bigtriangleup \rm APC \sim \bigtriangleup DPB$ 이다. (AA닮음)

$\overline{\rm PA} : \overline{\rm PD} = \overline{\rm PC} : \overline{\rm PB}$ 이므로

 

$\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB} = \overline{\rm PC} \cdot \overline{\rm PD}$ 가 성립한다.

 

 

2. 두 할선에 대한 방멱정리

두 할선에 대한 방멱정리

$\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB} = \overline{\rm PC} \cdot \overline{\rm PD}$

 

증명

$\overline{\rm AC}$, $\overline{\rm BC}$를 그은 후 내대각과 외각에 의해

$\angle \rm CAP = \angle BDC$, $\angle PCA = \angle PAD$ 이다.

따라서 $\bigtriangleup \rm PAC \sim \bigtriangleup PDB$ 이다. (AA닮음)

$\overline{\rm PA} : \overline{\rm PC} = \overline{\rm PD} : \overline{\rm PB}$ 이므로

 

$\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB} = \overline{\rm PC} \cdot \overline{\rm PD}$ 가 성립한다.

 

 

3. 할선과 접선에 대한 방멱정리

할선과 접선에 대한 방멱정리

$\overline{\rm PT}^2 = \overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB}$

 

증명

$\overline{\rm AT}$, $\overline{\rm BT}$를 그으면,

$\angle \rm ATP$는 공통각이고 $\angle \rm PTA = \angle PBT$ 이므로

따라서 $\bigtriangleup \rm PAT \sim \bigtriangleup PTB$ 이다. (AA닮음)

$\overline{\rm PA} : \overline{\rm PT} = \overline{\rm PT} : \overline{\rm PB}$ 이므로

 

$\overline{\rm PT}^2 = \overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB}$ 가 성립한다.