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수학

방멱정리 증명 방법 알아보기

by 여행과 수학 2022. 12. 18.
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방멱이란 무엇인가?

방멱이란 어떤 한 점 P를 지나는 직선이 중심이 O인 어떤 원과 만나는 두 점을 각각 A, B라 할 때, 두 선분의 곱 ¯PA¯PB 이다.

 

1. 두 현에 대한 방멱정리

두 현에 대한 방멱정리
두 현에 대한 방멱정리

¯PA¯PB=¯PC¯PD

 

증명

¯AC, ¯BC를 그은 후 원주각을 이용한다.

CAB=CDB이고 맞꼭지각에 의해 APC=DPB 이다.

따라서 APC∼△DPB 이다. (AA닮음)

¯PA:¯PD=¯PC:¯PB 이므로

 

¯PA¯PB=¯PC¯PD 가 성립한다.

 

 

2. 두 할선에 대한 방멱정리

두 할선에 대한 방멱정리
두 할선에 대한 방멱정리

¯PA¯PB=¯PC¯PD

 

증명

¯AC, ¯BC를 그은 후 내대각과 외각에 의해

CAP=BDC, PCA=PAD 이다.

따라서 PAC∼△PDB 이다. (AA닮음)

¯PA:¯PC=¯PD:¯PB 이므로

 

¯PA¯PB=¯PC¯PD 가 성립한다.

 

 

3. 할선과 접선에 대한 방멱정리

할선과 접선에 대한 방멱정리
할선과 접선에 대한 방멱정리

¯PT2=¯PA¯PB

 

증명

¯AT, ¯BT를 그으면,

ATP는 공통각이고 PTA=PBT 이므로

따라서 PAT∼△PTB 이다. (AA닮음)

¯PA:¯PT=¯PT:¯PB 이므로

 

¯PT2=¯PA¯PB 가 성립한다.

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