회전체의 부피를 구하는 공식을 알아보자.
회전체의 부피 구하는 공식
y=f(x)y=f(x)는 닫힌구간 [a,b][a,b]에서 연속인 함수일 때, y=f(x)y=f(x)를 xx축의 둘레로 회전시켰을 때, 생성되는 회전체의 부피를 VxVx라 하자. 이때, VxVx는
Vx=π∫bay2dx=π∫ba{f(x)}2dxVx=π∫bay2dx=π∫ba{f(x)}2dx 이다.
공식 유도하기

닫힌구간 [a,b][a,b]에서 연속인 함수 y=f(x)y=f(x)에 대해서 y=f(x)y=f(x), x축, x=a, x=b (a<b) 로 둘러싸인 도형을 x축을 회전축으로 해서 회전시킬 때, 생성되는 회전체의 부피를 Vx라 하자. 닫힌구간 [a,b]를 n등분하면
a=x0<x1<x2<x3<⋯<xn−1<xn=b 이다. 또한 모든 i=1,2,3,⋯ 에 대해서 △x=xi−xi−1 이다.
이 때, 특정한 xi에서 x축에 수직이 되도록 하는 평면으로 회전체를 자르면, 단면의 넓이를 S(xi)라 할 때, 회전체의 높이는 △x=xi−xi−1이므로 Vn은
Vn=∑ni=1S(xi)△x 를 만족한다. 구분구적법 정의에 의해 입체도형의 부피는 n→∞ 로 보내면,
Vx=limn→∞Vn=limn→∞∑ni=1S(xi)△x=∫baS(x)dx
S(x)=πy2=π{f(x)}2 이므로
Vx=π∫ba{f(x)}2dx
기둥껍질방법으로 회전체의 부피 구하기
기둥껍질방법 또는 원주각 방법을 이용해서 회전체의 부피를 구할 수 있다.
y=f(x)가 연속인 함수이고, f(x)≥0 일 때, y=f(x), x=a, x=b, (0≤a<b)로 둘러싸인 부분을 y축을 회전축으로 회전시킬 때, 생기는 입체도형 부피를 Vy라 하면,
Vy=∫ba2πxydx=∫ba2πxf(x)dx 이다.
공식 유도하기

닫힌구간 [a,b]에서 연속인 함수 y=f(x)에 대해서 y축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체도형에 대해 바깥쪽 부분의 입체도형의 부피는 π(xi+△xi)2f(xi) 이다. 안쪽 부분의 입체도형의 부피는 π(xi)2f(xi)이다. 껍질 부분의 입체도형의 부피는 π(xi+△xi)2f(xi)−π(xi)2f(xi)=π(2xi+△xi)△xif(xi) 이다. 따라서 회전체의 부피는 모든 구간에서 껍질의 합이므로
∑ni=1π(2xi+△xi)f(xi)△xi이다. n→∞ 로 보내면, 입체도형의 극한값을 구할 수 있다. 정적분값은
limn→∞∑ni=1π(2xi+△xi)f(xi)△xi=∫baπxf(x)dx 이다.
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