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수학

회전체의 부피를 구하는 공식

by 여행과 수학 2022. 11. 8.
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회전체의 부피를 구하는 공식을 알아보자.

 

회전체의 부피 구하는 공식

y=f(x)y=f(x)는 닫힌구간 [a,b][a,b]에서 연속인 함수일 때, y=f(x)y=f(x)xx축의 둘레로 회전시켰을 때, 생성되는 회전체의 부피를 VxVx라 하자. 이때, VxVx

 

Vx=πbay2dx=πba{f(x)}2dxVx=πbay2dx=πba{f(x)}2dx 이다.

 

공식 유도하기

회전체부피
회전체 부피

닫힌구간 [a,b][a,b]에서 연속인 함수 y=f(x)y=f(x)에 대해서 y=f(x)y=f(x), x, x=a, x=b (a<b) 로 둘러싸인 도형을 x축을 회전축으로 해서 회전시킬 때, 생성되는 회전체의 부피를 Vx라 하자. 닫힌구간 [a,b]n등분하면

a=x0<x1<x2<x3<<xn1<xn=b 이다. 또한 모든 i=1,2,3, 에 대해서 x=xixi1 이다.

 

이 때, 특정한 xi에서 x축에 수직이 되도록 하는 평면으로 회전체를 자르면, 단면의 넓이를 S(xi)라 할 때, 회전체의 높이는 x=xixi1이므로 Vn

 

Vn=ni=1S(xi)x 를 만족한다. 구분구적법 정의에 의해 입체도형의 부피는 n 로 보내면,

 

Vx=limnVn=limnni=1S(xi)x=baS(x)dx

S(x)=πy2=π{f(x)}2 이므로

 

Vx=πba{f(x)}2dx

 

기둥껍질방법으로 회전체의 부피 구하기

기둥껍질방법 또는 원주각 방법을 이용해서 회전체의 부피를 구할 수 있다.

y=f(x)가 연속인 함수이고, f(x)0 일 때, y=f(x), x=a, x=b, (0a<b)로 둘러싸인 부분을 y축을 회전축으로 회전시킬 때, 생기는 입체도형 부피를 Vy라 하면,

 

Vy=ba2πxydx=ba2πxf(x)dx 이다.

 

공식 유도하기

기둥껍질방법
기둥껍질방법

닫힌구간 [a,b]에서 연속인 함수 y=f(x)에 대해서 y축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체도형에 대해 바깥쪽 부분의 입체도형의 부피는 π(xi+xi)2f(xi) 이다. 안쪽 부분의 입체도형의 부피는 π(xi)2f(xi)이다. 껍질 부분의 입체도형의 부피는 π(xi+xi)2f(xi)π(xi)2f(xi)=π(2xi+xi)xif(xi) 이다. 따라서 회전체의 부피는 모든 구간에서 껍질의 합이므로

 

ni=1π(2xi+xi)f(xi)xi이다. n 로 보내면, 입체도형의 극한값을 구할 수 있다. 정적분값은

 

limnni=1π(2xi+xi)f(xi)xi=baπxf(x)dx 이다.

 

 

 

 

 

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