벡터에서 내분점, 외분점의 위치벡터 구하는 방법 알아보기

평면, 공간에서 선분을 내분, 외분하는 점의 위치벡터를 구하는 방법을 알아보자.

 

1. 내분점의 위치벡터

내분점의 위치벡터

선분 $\rm AB$ 를 $m:n$으로 내분할 때, 내분점을 $\rm P$라 하면, 점 $p$의 위치벡터 $\vec{p}$를 구하는 방법을 살펴보자.

($m>0, n>0)$

 

먼저 $\overrightarrow {\rm OP}=\overrightarrow {\rm OA}+\overrightarrow {\rm AP}$를 만족한다. 이때 $\rm AP:PB =  \it m:n$이므로 $\overrightarrow {\rm AP}=t\overrightarrow {\rm AB}$에서 $t=\frac {m}{m+n}$이다. 따라서 $\overrightarrow {\rm AP}=\frac {m}{m+n}\overrightarrow {\rm AB}$이다.

이를 시점 $\rm O$로 고정해서 벡터의 덧셈을 이용해 표현해보면,

$\vec {p}=\overrightarrow {\rm OP}=\overrightarrow {\rm OA}+\frac {m}{m+n} \overrightarrow {\rm AB}=\overrightarrow {\rm OA} + \frac {m}{m+n}(\overrightarrow {\rm OB}-\overrightarrow {\rm OA})$

$\frac {m\overrightarrow {\rm OB}+b\overrightarrow {\rm OA}}{m+n}=\frac {m\vec {b}+b\vec {a}}{m+n}$이다.

 

따라서 $\vec {p}=\frac {m\vec {b}+n\vec {a}}{m+n}$이다.

 

2. 외분점의 위치 벡터

외분점의 위치벡터

선분 $\rm AB$ 를 $m:n$으로 외분할 때, 외분점을 $\rm Q$라 하면, 점 $q$의 위치벡터 $\vec {q}$를 구하는 방법을 살펴보자.

($m>0, n>0$)

 

먼저 $\overrightarrow {\rm OQ}=\overrightarrow {\rm OA}+\overrightarrow {\rm AQ}$를 만족한다. 이때 $\rm AQ:QB=\it m:n$이므로 $\overrightarrow {\rm AQ}=t\overrightarrow {\rm AB}$에서 $t=\frac {m}{m-n}$이다. 따라서 $\overrightarrow {\rm AQ}=\frac {m}{m-n}\overrightarrow {\rm AB}$이다.

이를 시점 $\rm O$로 고정해서 벡터의 덧셈을 이용해 표현해보면,

$\vec {q}=\overrightarrow {\rm OQ}=\overrightarrow {\rm OA}+\frac {m}{m-n} \overrightarrow {\rm AB}=\overrightarrow {\rm OA} + \frac {m}{m-n}(\overrightarrow {\rm OB}-\overrightarrow {\rm OA})$

$\frac {m\overrightarrow {\rm OB}-b\overrightarrow {\rm OA}}{m-n}=\frac {m\vec {b}-b\vec {a}}{m-n}$이다.

 

3. 삼각형 무게중심의 위치벡터 구하기

삼각형의 무게중심

선분의 내분점 위치벡터 공식을 이용해서 삼각형 $\rm ABC$의 무게중심 $\rm G$의 위치벡터를 구해보자.

변 $\rm BC$의 중점을 $\rm D$라 하자. 이때 위치벡터 $\vec {d}$는 선분 $\rm BC$를 $1:1$로 내분한다. 따라서 $\overrightarrow {\rm OD}=\frac {1}{2}(\vec {b}+\vec {c})$이다.

점 $\rm G$는 선분 $\rm AD$를 $2:1$로 내분하므로 $\overrightarrow{\rm OG}=\frac{2\vec{d}+\vec {a}}{2+1}=\frac{2 \times (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}) + \vec{a}} {3}=\frac {\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}}{3}$이다.