Processing math: 80%
본문 바로가기
수학

회전체의 겉넓이 구하는 공식 알아보기

by 여행과 수학 2022. 11. 8.
반응형

함수가 주어졌을 때, x축 또는 y축을 중심으로 회전시키면, 회전체가 생긴다. 회전체의 겉넓이를 구하는 공식을 알아보자.

 

x, y축을 회전축으로 해서 회전시킨 입체도형의 겉넓이

1. y=f(x)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [a,b]에서 x축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 Sx 라 하자.

이 때, Sx 를 구하면,

 

Sx=ba2πf(x)1+{f(x)}2dx=ba2πy1+(y)2dx

 

2. y=f(x)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [a,b]에서 y축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 Sy 라 하자.

이 때, Sy 를 구하면,

 

Sy=ba2πx1+{f(x)}2dx=ba2πx1+(y)2dx

 

증명하기

[a,b]n개의 구간으로 나눌 때, 구간의 끝점을 각각 x0=a, xn=b 라 하자.

이때 a=x0<x1<x2<x3<<xn1<xn=b를 만족한다. 모든 i=1,2,3,,n에서 x=xixi1 이다.

회전체 겉넓이
회전체 겉넓이

yi=f(xi) 라고 하면, 점 Pi(xi,yi)y=f(x) 상에 존재한다. xi1xi 영역의 겉넓이는 선분 Pi1P1x축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있다. 이때의 겉넓이는 2πyi1+yi2¯Pi1Pi 이다. 이 때, 선분 Pi1Pi의 길이를 곡선의 길이를 구하는 공식을 이용해서 구해보면,

¯Pi1Pi =1+{f(xi)}2 x 로 근사된다고 할 수 있다.

 

이 선분을 구간 [a,b]에서 x축의 둘레로 회전한다면, 회전체의 겉넓이의 근삿값은

ni=12πyy1+yi21+{f(xi)}2xni=11+{f(x)}2x 이다.

 

이제 닫힌구간 [a,b]에서 함수 y=f(x)x축 둘레로 회전시켰을 때, 회전체의 겉넓이를 구하기 위해 n 로 보내면,

 

lim

 

이다. 이 정적분값이 함수 y=f(x)의 닫힌구간 [a,b]에서 x축을 중심축으로 해서 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이이다.

 

y축을 중심축으로 회전시켜 생기는 입체도형의 겉넓이

x=g(y)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [c,d]에서 y축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 S_y 라 하자. 이 때, S_y 를 구하면,

 

S_y= \int_{c}^{d} 2\pi g(y) \sqrt{1+\{g'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+(x')^2}dy

 

 

728x90

댓글