함수가 주어졌을 때, x축 또는 y축을 중심으로 회전시키면, 회전체가 생긴다. 회전체의 겉넓이를 구하는 공식을 알아보자.
x, y축을 회전축으로 해서 회전시킨 입체도형의 겉넓이
1. y=f(x)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [a,b]에서 x축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 Sx 라 하자.
이 때, Sx 를 구하면,
Sx=∫ba2πf(x)√1+{f′(x)}2dx=∫ba2πy√1+(y′)2dx
2. y=f(x)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [a,b]에서 y축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 Sy 라 하자.
이 때, Sy 를 구하면,
Sy=∫ba2πx√1+{f′(x)}2dx=∫ba2πx√1+(y′)2dx
증명하기
[a,b]를 n개의 구간으로 나눌 때, 구간의 끝점을 각각 x0=a, xn=b 라 하자.
이때 a=x0<x1<x2<x3<⋯<xn−1<xn=b를 만족한다. 모든 i=1,2,3,⋯,n에서 △x=xi−xi−1 이다.

yi=f(xi) 라고 하면, 점 Pi(xi,yi)는 y=f(x) 상에 존재한다. xi−1과 xi 영역의 겉넓이는 선분 Pi−1P1 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있다. 이때의 겉넓이는 2πyi−1+yi2¯Pi−1Pi 이다. 이 때, 선분 Pi−1Pi의 길이를 곡선의 길이를 구하는 공식을 이용해서 구해보면,
¯Pi−1Pi =√1+{f′(xi)}2 △x 로 근사된다고 할 수 있다.
이 선분을 구간 [a,b]에서 x축의 둘레로 회전한다면, 회전체의 겉넓이의 근삿값은
∑ni=12π⋅yy−1+yi2√1+{f′(xi)}2△x≈∑ni=1√1+{f(x)}2△x 이다.
이제 닫힌구간 [a,b]에서 함수 y=f(x)를 x축 둘레로 회전시켰을 때, 회전체의 겉넓이를 구하기 위해 n→∞ 로 보내면,
lim
이다. 이 정적분값이 함수 y=f(x)의 닫힌구간 [a,b]에서 x축을 중심축으로 해서 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이이다.
y축을 중심축으로 회전시켜 생기는 입체도형의 겉넓이
x=g(y)가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 [c,d]에서 y축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 S_y 라 하자. 이 때, S_y 를 구하면,
S_y= \int_{c}^{d} 2\pi g(y) \sqrt{1+\{g'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+(x')^2}dy
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