드무와브르 정리 알아보기(3배각 공식 증명)

드무아브르 정리는 복소수의 거듭제곱에 대한 성질이다. 드무아브르의 정리를 간단하게 알아보자.

 

드무아브르 정리란?

 

복소수 $z=r e^{i \theta}$에서 임의의 정수 $n$에 대하여

 

$z^n = r^n (e^{i \theta})^n = r^n e^{i n \theta}$ 를 만족한다.

 

특히 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$이므로 $z^n = r^n (\cos n \theta + i \sin n\theta)$ 이다.

 

드무아브르 정리 유도하기

두개의 단위복소수를 서로 곱하면, 지수법칙에 의해 $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$가 성립한다.

 

세개의 단위복소수를 서로 곱하면, $e^{i \theta_1}e^{i \theta_2} e^{i\theta_3} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} e^{i \theta_3} = e^{i (\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)}$가 성립한다.

 

임의의 자연수 $n$개에 대해서 반복해서 단위복소수의 곱셈을 하면,

 

$e^{i\theta_1}e^{i \theta_2}e^{i \theta_3} \cdots e^{i \theta_n} = e^{i(\theta_1+\theta_2+\theta_3 + \cdots \theta_n)}$ 이 성립한다.

 

이 중 $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \cdots = \theta_n = \theta$ 인 특정 경우에는

 

$(e^{i \theta})^n = e^{i n \theta}$ 가 성립하고, $1 = (e^{i \theta})^n (e^{i \theta})^{-n} = e^{i n \theta}(e^{i \theta})^{-n}$이므로 $(e^{i \theta})^{-n} = e^{-i n \theta}$ 이다.

 

따라서 임의의 정수 $n$에 대해서 $(e^{i \theta})= e^{i n \theta}$ 이다.

 

삼각함수의 3배각 공식 증명하기

드무아브르의 정리를 활용하면 삼각함수의 3배각 공식을 증명할 수 있다.

 

$(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta -3 \cos \theta \sin^2 \theta -i \sin^3 \theta$

$= (\cos^3 \theta -3\cos \theta \sin^2 \theta) + i(3\cos^2 \theta \sin \theta -\sin^3 \theta)$ 이다.

 

드무아브르 정리에 의해 $(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta$이므로

실수부분과 허수부분이 모두 같다. 따라서 

 

$\cos 3\theta = \cos^3 \theta - 3\cos \theta \sin^2 \theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

$\sin 3\theta = 3 \cos^2 \theta \sin \theta - \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - 4\sin^3 \theta$ 를 만족한다.