회전체의 겉넓이 구하는 공식 알아보기

함수가 주어졌을 때, $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전시키면, 회전체가 생긴다. 회전체의 겉넓이를 구하는 공식을 알아보자.

 

x, y축을 회전축으로 해서 회전시킨 입체도형의 겉넓이

1. $y=f(x)$가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 $[a,b]$에서 $x$축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 $S_x$ 라 하자.

이 때, $S_x$ 를 구하면,

 

$S_x= \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1+(y')^2}dx$

 

2. $y=f(x)$가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 $[a,b]$에서 $y$축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 $S_y$ 라 하자.

이 때, $S_y$ 를 구하면,

 

$S_y= \int_{a}^{b} 2\pi x \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+(y')^2}dx$

 

증명하기

$[a,b]$를 $n$개의 구간으로 나눌 때, 구간의 끝점을 각각 $x_0=a$, $x_n=b$ 라 하자.

이때 $a=x_0<x_1<x_2<x_3< \cdots <x_{n-1} < x_n=b$를 만족한다. 모든 $i=1,2,3, \cdots ,n$에서 $\bigtriangleup x = x_i-x_{i-1}$ 이다.

회전체 겉넓이

$y_i=f(x_i)$ 라고 하면, 점 $P_i(x_i,y_i)$는 $y=f(x)$ 상에 존재한다. $x_{i-1}$과 $x_i$ 영역의 겉넓이는 선분 $P_{i-1}P_1$ 를 $x$축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있다. 이때의 겉넓이는 $2\pi \frac{y_{i-1}+y_i}{2} \overline{P_{i-1}P_i}$ 이다. 이 때, 선분 $P_{i-1}P_i$의 길이를 곡선의 길이를 구하는 공식을 이용해서 구해보면,

$\overline{P_{i-1} P_i}$ $=\sqrt{1+ \{ f'(x_i) \}^2}$ $\bigtriangleup x $ 로 근사된다고 할 수 있다.

 

이 선분을 구간 $[a,b]$에서 $x$축의 둘레로 회전한다면, 회전체의 겉넓이의 근삿값은

$\sum_{i=1}^n 2\pi \cdot \frac{y_{y-1}+y_i}{2} \sqrt{1+\{ f'(x_i) \}^2} \bigtriangleup x \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\{f(x)\}^2} \bigtriangleup x$ 이다.

 

이제 닫힌구간 $[a,b]$에서 함수 $y=f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시켰을 때, 회전체의 겉넓이를 구하기 위해 $n \to \infty$ 로 보내면,

 

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 2\pi y_i \sqrt{1+\{ f'(x) \}^2} \bigtriangleup x = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+ \{ f'(x) \}^2} dx$

 

이다. 이 정적분값이 함수 $y=f(x)$의 닫힌구간 $[a,b]$에서 $x$축을 중심축으로 해서 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이이다.

 

y축을 중심축으로 회전시켜 생기는 입체도형의 겉넓이

$x=g(y)$가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 $[c,d]$에서 $y$축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 $S_y$ 라 하자. 이 때, $S_y$ 를 구하면,

 

$S_y= \int_{c}^{d} 2\pi g(y) \sqrt{1+\{g'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+(x')^2}dy$