회전체의 부피를 구하는 공식

회전체의 부피를 구하는 공식을 알아보자.

 

회전체의 부피 구하는 공식

$y=f(x)$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수일 때, $y=f(x)$를 $x$축의 둘레로 회전시켰을 때, 생성되는 회전체의 부피를 $V_x$라 하자. 이때, $V_x$는

 

$V_x = \pi \int_a^b y^2 dx = \pi \int_a^b \{ f(x) \}^2 dx$ 이다.

 

공식 유도하기

회전체 부피

닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$에 대해서 $y=f(x)$, $x축$, $x=a$, $x=b$ $(a<b)$ 로 둘러싸인 도형을 $x$축을 회전축으로 해서 회전시킬 때, 생성되는 회전체의 부피를 $V_x$라 하자. 닫힌구간 $[a,b]$를 $n$등분하면

$a=x_0<x_1<x_2<x_3<\cdots < x_{n-1} < x_n = b$ 이다. 또한 모든 $i=1,2,3, \cdots$ 에 대해서 $\bigtriangleup x = x_i - x_{i-1}$ 이다.

 

이 때, 특정한 $x_i$에서 $x$축에 수직이 되도록 하는 평면으로 회전체를 자르면, 단면의 넓이를 $S(x_i)$라 할 때, 회전체의 높이는 $\bigtriangleup x = x_i-x_{i-1}$이므로 $V_n$은

 

$V_n = \sum_{i=1}^n S(x_i) \bigtriangleup x$ 를 만족한다. 구분구적법 정의에 의해 입체도형의 부피는 $n \to \infty$ 로 보내면,

 

$V_x = \lim_{n \to \infty} V_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n S(x_i) \bigtriangleup x = \int_a^b S(x)dx$

$S(x)= \pi y^2 = \pi \{ f(x) \}^2$ 이므로

 

$V_x = \pi \int_a^b \{ f(x) \}^2 dx$

 

기둥껍질방법으로 회전체의 부피 구하기

기둥껍질방법 또는 원주각 방법을 이용해서 회전체의 부피를 구할 수 있다.

$y=f(x)$가 연속인 함수이고, $f(x) \geq 0$ 일 때, $y=f(x)$, $x=a$, $x=b$, $(0 \leq a < b)$로 둘러싸인 부분을 $y$축을 회전축으로 회전시킬 때, 생기는 입체도형 부피를 $V_y$라 하면,

 

$V_y = \int_a^b 2\pi xy dx = \int_a^b 2\pi xf(x) dx$ 이다.

 

공식 유도하기

기둥껍질방법

닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$에 대해서 $y$축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체도형에 대해 바깥쪽 부분의 입체도형의 부피는 $\pi (x_i + \bigtriangleup x_i)^2 f(x_i)$ 이다. 안쪽 부분의 입체도형의 부피는 $\pi (x_i)^2 f(x_i)$이다. 껍질 부분의 입체도형의 부피는 $\pi (x_i+\bigtriangleup  x_i)^2 f(x_i) - \pi (x_i)^2 f(x_i) = \pi (2x_i +\bigtriangleup x_i ) \bigtriangleup x_i f(x_i)$ 이다. 따라서 회전체의 부피는 모든 구간에서 껍질의 합이므로

 

$\sum_{i=1}^n \pi (2x_i + \bigtriangleup x_i ) f(x_i) \bigtriangleup x_i$이다. $n \to \infty$ 로 보내면, 입체도형의 극한값을 구할 수 있다. 정적분값은

 

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \pi (2x_i + \bigtriangleup x_i) f(x_i) \bigtriangleup x_i = \int_a^b \pi xf(x)dx$ 이다.