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수학

코시의 평균값 정리 알아보기

by 여행과 수학 2022. 11. 6.
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코시 평균값 정리

두 함수 f(x), g(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하며 구간에서 g(x)0이면 f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)ca, b사이에 적어도 하나 존재한다.

 

코시 평균값 정리 증명하기

h(x)=[f(b)f(a)]g(x)[g(b)g(a)]f(x) 라 하자. 이 때, h(x)는 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능하고 h(a)=h(b) 이다. 따라서 롤의 정리에 의해 h(c)=0 이다.

 

[f(b)f(a)]g(c)[g(b)g(a)]f(c)=0 인 점 c가 열린구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재한다. 따라서 구간 내의 모든 점에서 g(x)0이고 g(b)g(a)0이면, f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)c가 존재한다.

 

코시 평균값정리의 기하학적 의미

코시 평균값 정리
코시 평균값 정리의 기하학적 의미

미분가능한 두 함수 f,g:[a,b]R에서 (f(t),g(t))(atb)로 주어진 곡선이 있을 때, 점 (f(a),g(a))에서 점 (f(b)g(b))까지의 곡선 위의 점에서 접선의 방향벡터는 (f(t),g(t))와 같다.

 

코시 평균값 정리는 곡선의 접선 중에 두 점 (f(a),g(a)), (f(b),g(b))를 잇는 직선과 평행한 점이 적어도 구간 내에 하나 존재한다는 것과 같다.

 

<롤의 정리>

 

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)

롤의 정리란? 함수 f(x) 가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고 열린구간 (a,b) 에서 미분가능하며 f(a)=f(b) 이면, f(c)=0 를 만족하는 c(a,b) 가 적어도 하나 존재한다. 롤의 정리 증명 f(x)를 두

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