아르키메데스 정리 증명하기(archimedes theorem)

아르키메데스 정리

임의의 $a>0$, $b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $na>b$를 만족하는 적당한 자연수 $n$이 존재한다.

 

즉, 자연수는 무한히 커진다는 말과 같다. 어떤 고정된 수 $b$가 있다면, 그것보다 더 큰 자연수 $n$이 존재한다는 의미이다.

 

아르키메데스 정리 증명방법

적당한 $a>0$, $b \in \mathbb{R}$ 가 존재해서 모든 자연수 $n$에 대하여 $na \leq b$가 성립한다고 한다.

이때 $S=\{ na | n \in \mathbb{N} \}$ 이라 하면 $b$는 집합 $S$의 상계이므로 위로 유계이다.

따라서 완비성공리에 의해 $S$는 상한을 갖는다. 이때 $\alpha = \rm supA$ 라 하자.

$(n+1)a \leq \alpha \Rightarrow na \leq \alpha - a$ 이고 $\alpha - a$ 역시 $S$의 상계이다.

이는 $\alpha$가 최소상계임에 모순이다.

 

$\therefore$ $na>b$ 를 만족하는 자연수 $n$ 이 존재한다.