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수학

삼각함수의 반각공식 유도하기

by 여행과 수학 2022. 11. 6.
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삼각함수 계산을 위해 삼각함수 식을 변형한다. 이 때 사용되는 방법 중 하나인 삼각함수의 반각공식을 알아보고 증명해보자.

 

반각 공식

sin2α2=1cosα2

cos2α2=1+cosα2

tan2α2=1cosα1+cosα

 

반각공식을 유도하는 방법

삼각함수의 반각공식에 대한 유도는 삼각함수의 배각공식으로 가능하다. 반각공식을 유도해보자.

 

cos2α=12sin2α=2cos2α1

위의 식에서 α 대신에 2α 를 대입한 후 정리한다.

 

cosα=12sin2α2=2cos2α21 이다.

 

제곱이 포함된 항으로 정리를 하면, 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

sin21cosα2 이고, cos21+cosα2

 

또한 탄젠트 반각공식을 유도하기 위해 tanα=sinαcosα 를 이용하면,

 

tan2α2=sin2α2cos2α2=1cosα1+cosα 임을 알 수 있다.

 

탄젠트 반각공식을 다르게 접근할 수 있는데 다음 식 역시 유용하게 사용된다.

 

탄젠트 반각공식2

tanα=sinα1+cosα

 

탄젠트 반각공식2 를 유도하는 법

tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22cos2α2=sinα1+cosα

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