삼각함수의 합과 차를 곱으로 바꾸는 공식 유도하기

삼각함수를 여러가지 형태로 변형하면서 미분, 적분 및 급수계산 등의 계산을 간단하게 바꿔줄 수 있는 여러 공식이 있다. 그 중에서 삼각함수의 합과 차를 삼각함수의 곱으로 바꾸는 공식을 유도해보자.

 

삼각함수의 합, 차를 곱으로 바꾸는 공식

$\rm sin \it A$ $+\rm sin\it B$ $=2 \rm sin \it \frac{A+B}{2} \rm$ $\rm cos \it \frac{A-B}{2} \rm$ 

$\rm sin \it A$ $-\rm sin\it B$ $=2 \rm cos \it \frac{A+B}{2} \rm$ $\rm sin \it \frac{A-B}{2} \rm$ 

$\rm cos \it A$ $+\rm cos\it B$ $=2 \rm cos \it \frac{A+B}{2} \rm$ $\rm cos \it \frac{A-B}{2} \rm$ 

$\rm cos \it A$ $-\rm cos\it B$ $=-2 \rm sin \it \frac{A+B}{2} \rm$ $\rm sin \it \frac{A-B}{2} \rm$

 

공식을 유도하는 법 알아보기

곱을 합, 차로 바꾸는 공식을 이용하면, 위 공식을 유도할 수 있다.

 

$\rm sin \it \alpha$ $\rm cos \it \beta$ $= \frac{1}{2}$ $\rm sin \{ ( \alpha+\beta)+ \rm sin(\alpha-\beta)  \}$

 

위 식에서 $\alpha+\beta=A$, $\alpha-\beta=B$ 라고 한다면, $\alpha=\frac{A+B}{2}$ 이고, $\beta=\frac{A-B}{2}$ 이다.

 

이 식을 대입해서 정리하면,

 

$\rm sin \frac{A+B}{2}$ $\rm cos \frac{A-B}{2}$ $=\frac{1}{2} \{ \rm sinA +sinB \}$

$\Rightarrow \rm sinA+sinB=2sin \frac{A+B}{2} cos \frac{A-B}{2}$

 

나머지 공식들도  $\alpha+\beta=A$, $\alpha-\beta=B$,  $\alpha=\frac{A+B}{2}$,  $\beta=\frac{A-B}{2}$ 를 위의 식처럼 대입해서 정리하면 된다.

 

4가지 공식의 유도

$\rm sin \it \alpha$ $\rm cos \it \beta$ $= \frac{1}{2}$ $\rm sin \{ ( \alpha+\beta)+ \rm sin(\alpha-\beta)  \}$

$\Rightarrow \rm  sin \frac{A+B}{2}$ $\rm cos \frac{A-B}{2}$ $=\frac{1}{2} \{ \rm sinA +sinB \}$

$\Rightarrow \rm sinA+sinB=2sin \frac{A+B}{2} cos \frac{A-B}{2}$

 

$\rm cos \it \alpha$ $\rm sin \it \beta$ $= \frac{1}{2}$ $\rm sin \{ ( \alpha+\beta)- \rm sin(\alpha-\beta)  \}$

$\Rightarrow \rm  cos \frac{A+B}{2}$ $\rm sin \frac{A-B}{2}$ $=\frac{1}{2} \{ \rm sinA -sinB \}$

$\Rightarrow \rm sinA-sinB=2cos \frac{A+B}{2} sin \frac{A-B}{2}$

 

$\rm cos \it \alpha$ $\rm cos \it \beta$ $= \frac{1}{2}$ $\rm cos \{ ( \alpha+\beta)+ \rm cos(\alpha-\beta)  \}$

$\Rightarrow \rm  cos \frac{A+B}{2}$ $\rm cos \frac{A-B}{2}$ $=\frac{1}{2} \{ \rm cosA +cosB \}$

$\Rightarrow \rm cosA+cosB=2cos \frac{A+B}{2} cos \frac{A-B}{2}$

 

$\rm sin \it \alpha$ $\rm sin \it \beta$ $=- \frac{1}{2}$ $\rm cos \{ ( \alpha+\beta)- \rm cos(\alpha-\beta)  \}$

$\Rightarrow \rm  sin \frac{A+B}{2}$ $\rm sin \frac{A-B}{2}$ $=-\frac{1}{2} \{ \rm cosA -cosB \}$

$\Rightarrow \rm sinA-sinB=-2sin \frac{A+B}{2} sin \frac{A-B}{2}$

 

<공식 쉽게 외우기>

앞에 있는 공식에서 sin은 '신', cos은 '코' 를 해서 외우면 된다. 플러스는 '프', 마이너스는 '마' 로 읽어서 외운다.

신프신은 두신코

신마신은 두코신

코프코는 두코코

코마코는 마두신신