2배각, 3배각 공식 증명하기(삼각함수의 배각공식)

삼각함수와 관련된 다양한 계산을 하기 위해 삼각함수의 형태를 다르게 변형해야 할 경우가 있다. 여러 공식들 중 삼각함수의 배각공식을 알아보자.

 

1. 삼각함수의 2배각 공식

$ \rm sin 2\alpha = 2 \rm sin \alpha cos \alpha$

$ \rm cos2 \alpha= cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$

$=2 \rm cos^2 \alpha -1$

$=1-2\rm sin^2 \alpha$

$ \rm tan 2\alpha = \frac{2tan \alpha}{1-tan^2 \alpha}$

 

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면, 사인 2배각 공식을 쉽게 증명할 수 있다.

 

$\rm sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos \alpha sin \beta$

위 식에서 $\beta$ 대신 $\alpha$ 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

$\rm sin 2\alpha = sin(\alpha+\alpha)=sin \alpha cos \alpha +cos \alpha sin \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$

 

코사인 2배각 공식도 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 증명한다.

 

$\rm cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta - sin \alpha sin \beta$

위 식에서 $\beta$ 대신 $\alpha$ 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

$\rm cos 2\alpha = cos(\alpha + \alpha)= cos\alpha cos\alpha - sin\alpha sin\alpha$

 

위 식에서 $\rm sin^2 \alpha + cos^2 \alpha=1$ 을 대입하면, 코사인 함수의 다른 2배각 공식들도 증명할 수 있다.

 

탄젠트 2배각 공식 역시 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 된다.

$\rm tan(\alpha + \beta)=\frac{tan \alpha + tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}$

위 식에서 $\beta$ 대신 $\alpha$ 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

$\rm tan 2\alpha = tan(\alpha + \alpha) = \frac{tan \alpha + tan \alpha}{1-tan\alpha tan \alpha}= \frac{2tan \alpha}{1+tan^2 \alpha}$

 

2. 삼각함수의 3배각 공식

$\rm sin 3\alpha = 3sin\alpha-4sin^3 \alpha$

$\rm cos 3\alpha = 4cos^3 \alpha -3cos \alpha$

 

삼각함수의 2배각 공식을 이용해서 3배각 공식을 유도하면 된다. $3\alpha =2\alpha +\alpha$ 로 생각해서 2배각 공식과 삼각함수의 덧셈정리로 유도해 나간다. 즉, $3\alpha$ 를 $\alpha$ 로 바꾸어 나간다고 생각하면 된다.

 

$\rm sin 3\alpha = sin(\alpha +2\alpha)=sin \alpha cos 2\alpha+ cos \alpha sin 2\alpha$

$\rm =sin \alpha (1-2sin^2 \alpha)+cos \alpha (2cos \alpha cos \alpha)$

$\rm =sin \alpha (1-2sin^2 \alpha) + 2sin \alpha (1-sin^2 \alpha) $

$\rm =3sin \alpha -4sin^3 \alpha$

 

$\rm cos 3\alpha = cos(\alpha+2\alpha)=cos\alpha cos2\alpha - sin \alpha sin 2\alpha$

$\rm =cos\alpha (2cos^2 \alpha -1)-sin \alpha (2sin \alpha cos \alpha)$

$\rm =cos\alpha (2cos^2 \alpha -1) - 2cos \alpha (1- cos^2 \alpha)$

$\rm =4cos^3 \alpha -3cos \alpha$

 

배각공식 유도 영상

배각 공식을 다양한 방법으로 유도할 수 있는 영상입니다.