벡터의 내적과 외적 활용법

벡터(Vector)는 크기와 방향을 가지는 양이다. 벡터의 성분만 주어진다면, 벡터의 내적, 외적을 쉽게 활용할 수 있다.

벡터의 성분

두 벡터 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 일 때,

1. 벡터의 내적

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\rm cos \it \theta$ $=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ (스칼라양)

2. 벡터의 외적

$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$ (벡터양)

※ 벡터 외적의 크기

$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\rm sin \it \theta$

(외적의 크기는 평행사변형의 넓이와 같다.)

 

좌표공간에 두 개의 위치 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 가 주어지고, 점 $A$, $B$ 의 성분을 알면, 두 벡터 사이의 각과 두 벡터로 이루어진 삼각형의 넓이를 내적, 외적 계산으로 구할 수 있다.

 

벡터의 내적과 외적의 활용

1. 두 벡터 사이의 각

2. 두 벡터로 이루어진 삼각형의 넓이

 

다음 예시를 통해 벡터 사이의 각과 삼각형의 넓이를 구해보자.

예시문제

1. 벡터의 내적으로 구하기

$\vec{a}\times\vec{b}=|\sqrt{5}||3\sqrt{2}| \cos \theta =3$

$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ (두 벡터 사이의 각)

 

따라서 삼각형의 넓이는

$\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times3\sqrt{2}\times\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{9}{2}$ (삼각형의 넓이)

 

2. 벡터의 외적으로 구하기

$\vec{a}\times\vec{b}=(-3,6,-6)$

$|\vec{a}\times\vec{b}|=9$

$\frac{1}{2}\times 9=\frac{9}{2}$

$\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times 3\sqrt{2} \times \sin\theta = \frac{9}{2}$ (삼각형의 넓이)

 

$\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$ (두 벡터 사이의 각 $\theta$)