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수학

포물선의 반사성질 증명하기

by 여행과 수학 2022. 10. 26.
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포물선이란 평면 위의 한 정점과 이 점을 지나지 않는 한 직선까지의 거리가 같은 점들의 자취를 말한다.

입사각 반사각
입사각, 반사각

만약, 포물선을 거울이라고 가정할 때, 준선에 수직으로 빛을 쏘면 빛이 포물선에 반사돼 다음 초점으로 모든 빛이 수렴하게 된다. 이때, 두 각이 같다는 것이 포물선의 반사 성질이다. 이 두각이 같음을 증명해보자.

 

포물선의 반사성질 증명하기

포물선의 방정식 : y2=4pxy2=4px

접선의 방정식 : y1y=2p(x+x1)y1y=2p(x+x1)

포물선 반사성질 증명
포물선 반사성질 증명

B(x1,0)B(x1,0) (접선의 방정식의 xx절편)

¯BF=x1+p¯BF=x1+p 이고 ¯CA=x1+p¯CA=x1+p

¯BF//¯CA¯BF//¯CA 이므로 평행사변형이다.

포물선의 정의에 의해서 ¯AC=¯AF¯AC=¯AF 이므로

사각형 FABCFABC는 마름모이다.

따라서 접선은 마름모의 이등분선이 되고

BAC=BAFBAC=BAF이다.

또한 맞꼭지각이므로 BAC=DAEBAC=DAE 이다.

BAF=DAE

 

포물선에서 준선에 수직으로 들어오는 빛은 반드시 초점을 향한다.

 

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