1더하기 1은 2 증명하기(1+1=2 증명)

수학에서 말하는 증명이란? 어떠한 명제가 참임을 밝히는 과정을 말한다.(여기에서 말하는 명제는 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식이다.)

 

1더하기1의 구성요소 4가지

1, +, =, 2

 

네가지 구성요소를 살펴보면, 자연수, 등호, 덧셈연산에 대해 알아보면 된다.

 

페아노 공리계

"주세페 페아노"라는 수학자는 자연수를 한 문장으로 정의하기 어렵기에 페아노 공리계(Peano axioms)를 제시하였다. 페아노 공리계에서는 자연수, 등호, 덧셈연산이 만족해야 하는 성질들을 규정하고 있다.

 

공리(Axiom)란? 수학에서 기초가 되는 명제로 이론 내에서 증명할 필요가 없이 참으로 받아들이는 명제나 원리를 말한다.

페아노의 논문에서는 총 9가지의 공리를 제시하는데, <공리1> 은 1을 정의, <공리2~5> 는 등호관계, <공리6~9>는 자연수의 성질을 나타낸다.

 

<공리1>

1은 자연수이다. 또한 1은 무정의 용어라 한다.(현대 페아노공리계에서는 0이 무정의 용어이다.)

 

※ 무정의 용어를 사용하는 이유

 A라는 용어를 설명하기 위해 A를 B라고 하면, B를 설명하기 위해 B를 C라 한다. 그럼 C는 무엇인가? 이런 질문들이 끊임없이 이어지기 떄문에 1(0)을 무정의용어로 사용한다.

 

덧셈의 정의

+기호가 없던 시절에는 1 + 1 은 1 et 1 이라 표현했다고 알려져있다. 독일의 수학자 비트만이 et를 빠르게 반복하여 쓰다가 + 모양이 되었다고 전해진다.

 

자연수 집합에 0을 추가한 $\mathbb{N}^+$에서 덧셈은 다음 두 조건을 만족하는

함수 $+:\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+\rightarrow\mathbb{N}^+$라 정의한다.

 

1. 모든 $n\in\mathbb{N}^+$에 대해서 $n+0=n, n+1=n'$를 만족한다.

2. $n+m'=(n+m)'$ 를 만족한다.

 

1더하기1은 2 증명하기

$1+1=1+0'=(1+0)'=1'=2$

따라서 1+1=2 이다.

1+1=2 증명하기