삼각함수와 관련된 다양한 계산을 하기 위해 삼각함수의 형태를 다르게 변형해야 할 경우가 있다. 여러 공식들 중 삼각함수의 배각공식을 알아보자.
1. 삼각함수의 2배각 공식
sin2α=2sinαcosαsin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2αcos2α=cos2α−sin2α
=2cos2α−1=2cos2α−1
=1−2sin2α=1−2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2αtan2α=2tanα1−tan2α
삼각함수의 덧셈정리를 이용하면, 사인 2배각 공식을 쉽게 증명할 수 있다.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
위 식에서 ββ 대신 αα 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.
sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosαsin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα
코사인 2배각 공식도 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 증명한다.
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
위 식에서 ββ 대신 αα 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinαcos2α=cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα
위 식에서 sin2α+cos2α=1sin2α+cos2α=1 을 대입하면, 코사인 함수의 다른 2배각 공식들도 증명할 수 있다.
탄젠트 2배각 공식 역시 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 된다.
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
위 식에서 ββ 대신 αα 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.
tan2α=tan(α+α)=tanα+tanα1−tanαtanα=2tanα1+tan2αtan2α=tan(α+α)=tanα+tanα1−tanαtanα=2tanα1+tan2α
2. 삼각함수의 3배각 공식
sin3α=3sinα−4sin3αsin3α=3sinα−4sin3α
cos3α=4cos3α−3cosαcos3α=4cos3α−3cosα
삼각함수의 2배각 공식을 이용해서 3배각 공식을 유도하면 된다. 3α=2α+α3α=2α+α 로 생각해서 2배각 공식과 삼각함수의 덧셈정리로 유도해 나간다. 즉, 3α3α 를 αα 로 바꾸어 나간다고 생각하면 된다.
sin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2αsin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα(1−2sin2α)+cosα(2cosαcosα)=sinα(1−2sin2α)+cosα(2cosαcosα)
=sinα(1−2sin2α)+2sinα(1−sin2α)=sinα(1−2sin2α)+2sinα(1−sin2α)
=3sinα−4sin3α=3sinα−4sin3α
cos3α=cos(α+2α)=cosαcos2α−sinαsin2αcos3α=cos(α+2α)=cosαcos2α−sinαsin2α
=cosα(2cos2α−1)−sinα(2sinαcosα)=cosα(2cos2α−1)−sinα(2sinαcosα)
=cosα(2cos2α−1)−2cosα(1−cos2α)=cosα(2cos2α−1)−2cosα(1−cos2α)
=4cos3α−3cosα=4cos3α−3cosα
배각공식 유도 영상
배각 공식을 다양한 방법으로 유도할 수 있는 영상입니다.
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