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수학

2배각, 3배각 공식 증명하기(삼각함수의 배각공식)

by 여행과 수학 2022. 10. 31.
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삼각함수와 관련된 다양한 계산을 하기 위해 삼각함수의 형태를 다르게 변형해야 할 경우가 있다. 여러 공식들 중 삼각함수의 배각공식을 알아보자.

 

1. 삼각함수의 2배각 공식

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2αsin2α

=2cos2α1

=12sin2α

tan2α=2tanα1tan2α

 

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면, 사인 2배각 공식을 쉽게 증명할 수 있다.

 

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

위 식에서 β 대신 α 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

 

코사인 2배각 공식도 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 증명한다.

 

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

위 식에서 β 대신 α 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

cos2α=cos(α+α)=cosαcosαsinαsinα

 

위 식에서 sin2α+cos2α=1 을 대입하면, 코사인 함수의 다른 2배각 공식들도 증명할 수 있다.

 

탄젠트 2배각 공식 역시 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 된다.

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ

위 식에서 β 대신 α 를 대입하면, 2배각 공식을 유도할 수 있다.

tan2α=tan(α+α)=tanα+tanα1tanαtanα=2tanα1+tan2α

 

2. 삼각함수의 3배각 공식

sin3α=3sinα4sin3α

cos3α=4cos3α3cosα

 

삼각함수의 2배각 공식을 이용해서 3배각 공식을 유도하면 된다. 3α=2α+α 로 생각해서 2배각 공식과 삼각함수의 덧셈정리로 유도해 나간다. 즉, 3αα 로 바꾸어 나간다고 생각하면 된다.

 

sin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α

=sinα(12sin2α)+cosα(2cosαcosα)

=sinα(12sin2α)+2sinα(1sin2α)

=3sinα4sin3α

 

cos3α=cos(α+2α)=cosαcos2αsinαsin2α

=cosα(2cos2α1)sinα(2sinαcosα)

=cosα(2cos2α1)2cosα(1cos2α)

=4cos3α3cosα

 

배각공식 유도 영상

배각 공식을 다양한 방법으로 유도할 수 있는 영상입니다.

 

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