포물선의 반사성질 증명하기

포물선이란 평면 위의 한 정점과 이 점을 지나지 않는 한 직선까지의 거리가 같은 점들의 자취를 말한다.

입사각, 반사각

만약, 포물선을 거울이라고 가정할 때, 준선에 수직으로 빛을 쏘면 빛이 포물선에 반사돼 다음 초점으로 모든 빛이 수렴하게 된다. 이때, 두 각이 같다는 것이 포물선의 반사 성질이다. 이 두각이 같음을 증명해보자.

 

포물선의 반사성질 증명하기

포물선의 방정식 : $y^2=4px$

접선의 방정식 : $y_1y=2p(x+x_1)$

포물선 반사성질 증명

$B(-x_1,0)$ (접선의 방정식의 $x$절편)

$\bar{\rm BF}=x_1+p$ 이고 $\bar{\rm CA}=x_1+p$

$\bar{\rm BF}//\bar{\rm CA}$ 이므로 평행사변형이다.

포물선의 정의에 의해서 $\bar{\rm AC}=\bar{\rm AF}$ 이므로

사각형 $\rm FABC$는 마름모이다.

따라서 접선은 마름모의 이등분선이 되고

$\angle BAC = \angle BAF$이다.

또한 맞꼭지각이므로 $\angle BAC=\angle DAE$ 이다.

$\therefore \angle BAF = \angle DAE$

 

포물선에서 준선에 수직으로 들어오는 빛은 반드시 초점을 향한다.