단조수렴정리 증명하기

단조수렴정리

수열 $\{ a_n \}$ 이 위로 유계 $\Leftrightarrow$ 수열 $\{ a_n \}$ 이 수렴

증명하기

($\Rightarrow$) $A= \{ a_n | n \in N \}$ 라 하자. 집합 $A$ 가 위로 유계이므로 실수집합 $R$ 의 완비성 공리에 의해 상한(최소상계)이 존재한다. 이를 $\alpha = \rm supA$ 라 하자. 임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여 어떤 자연수 $N$이 존재하여 $\alpha - \epsilon < a_N \leq \alpha$ 를 만족한다. ($\because \alpha$ 가 상한이기 때문)

(1) 모든 $n \in N$에서 $a_n \leq \alpha - \epsilon$ 라 하면, $\alpha - \epsilon < \alpha$ 이므로 $\alpha$ 가 최소상계라는 가정에 모순이다.
(2) $\alpha$ 가 상계이므로 당연히 성립한다.

또한 $\{ a_n \}$가 단조증가수열이므로 $n>N$ 인 $n \in N$ 에 대하여 $\alpha - \epsilon < a_N \leq a_n \leq \alpha < \alpha + \epsilon$ 이다. 따라서 임의의 $\epsilon >0$에 대하여 $n>N$이면 $|a_n - \alpha|< \epsilon$을 만족한다. 즉, $\lim_{n \to \infty}a_n= \alpha = \rm supA$이다.
즉, 수열 $\{ a_n \}$이 단조증가수열일 때, 수열 $\{ a_n \}$이 위로 유계이면, 수열 $\{ a_n \}$이 수렴한다.

($\Leftarrow$) 수열 $\{ a_n \}$이 수렴하므로 $\lim_{n \to \infty}= \alpha$ 라 하자. 수열의 수렴 정의에 의해 $\epsilon =1$에 대해서 적당한 $N \in \mathbb{N}$에서 $n>N$ 인 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $\alpha -1 < a_n < \alpha +1$을 만족한다. $\{ a_n \}$이 단조증가수열이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$에서 $\alpha +1$은 $\{ a_n \}$의 상계이다. $\therefore$ 수열 $\{ a_n \}$ 이 위로유계이다.
(단조증가수열이 아니라도, 수열 $\{ a_n \}$ 이 수렴하면, 수열 $\{ a_n \}$이 유계이다.

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완비성 공리(완전히 갖추어진 성질) 알아보기