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수학

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)

by 여행과 수학 2022. 11. 5.
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롤의 정리란?

롤의 정리
롤의 정리

함수 f(x) 가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고 열린구간 (a,b) 에서 미분가능하며 f(a)=f(b) 이면, f(c)=0  를 만족하는 c(a,b) 가 적어도 하나 존재한다.

 

롤의 정리 증명

f(x)를 두가지 경우로 나누어 증명한다.

 

1. f(x) 가 상수함수일 때

모든 구간 (a,b)에서 f(x)=0 이므로 모든 c(a,b)에서 f(c)=0 이다.

 

2. f(x) 가 상수함수가 아닐 때

최대, 최소 정리에 의해 [a,b]에서 f(x) 의 최댓값, 최솟값이 존재한다. 조건에 의해 f(a)=f(b) 이므로 최대값, 최솟값이 되는 c(a,b) 가 존재한다. f(x)x=c에서 최대이면, 모든 x[a,b] 에서 f(x) f(c) 이다.

이때, x>c 이면, f(x)f(c)xc 0 이므로 lim 이다.

x<c이면 \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 이므로 \lim_{x \to c-} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 이다.

또한 fx=c 에서 미분가능이므로 (가정에서) f'(c)= \lim_{x \to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0 이다.

따라서 f'(c)=0c \in (a,b) 가 존재한다.

 

<최대최소정리 증명법>

 

최대 최소 정리 증명하기

최대 최소 정리 f(x)[a,b]에서 연속이면, f(x)는 최댓값, 최솟값을 갖는다. 증명하기 f(x) 가 위로 유계가 아니라고 가정하자. 모든 자연수 n 에 대하여 a_n \in [a,b]이고, f(a_n)>n 인 수열 $\{

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