베르누이 부등식 증명하기

베르누이 부등식

$a \in \mathbb{R}$이고 $a>0$ 일 때 각 자연수 $n$에 대하여 $(1+a)^n \leq 1+na$ 가 성립한다.

 

베르누이 부등식 증명방법

수학적 귀납법을 이용해서 증명한다.

(i)  $n=1$ 일 때, $(1+a)^1 \geq 1+1\cdot a$ 이다.(성립한다.)

(ii) $n=k$ 일 때, $(1+a)^k \geq 1+ka$ 가 성힙한다 가정하면, $(1+a)^{k+1}=(1+a)^k \cdot (1+a) \geq (1+ka)(1+a) = 1+a+ka+ka^2 > 1+(k+1)a$따라서 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.