p급수의 수렴, 발산 조건 알아보기

$p-$급수란?

$p>0$ 인 실수 $p$에 대해서 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 이다.

 

$p-$급수에서 $p$의 값에 따른 수렴, 발산을 조사해보자.

 

(1) $p>0$인 경우 수렴, 발산 조사

$p-$급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 의 부분합 $S_n$을 $S_n = 1+\frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$ 라 하자. 자연수 $k$에 대해서 수열 $\{ S_n \}$의 부분수열 $\{ S_{2^k-1} \}$ 은 다음 부등식을 만족한다.

 

$S_n=1$

$S_3 = 1+\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} < S_1 + 2 \times \frac{1}{2^p} =1+  \frac{1}{2^{p-1}}$

$S_7 = S_3 + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p} + \frac{1}{6^p} + \frac{1}{7^p} < S_3 + 4 \times \frac{1}{4^p} < 1+\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{4^{p-1}}$ 이다.

일반적인 자연수 $k$에 대해서 

$S_{2^k-1} < 1+ \frac{1}{2^{p-1}}+ \frac{1}{4^{p-1}} + \cdots + \frac{1}{(2^{p-1})^{k-1}} < \frac{1}{1-2^{1-p}} = \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2^{p-1}})^{n-1}$ 이다.

 

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 의 부분합 $\{ S_n \}$은 단조증가, 유계 수열이다.

 

따라서 $p>1$일 때, $p-$급수는 수렴한다.

 

(2) $0< p \leq 1$인 경우 수렴, 발산 조사

모든 자연수 $n$에 대해서 $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}$ 가 성립한다. 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$의 부분합을 $S_n$ 이라 할 때, 자연수 $k$에서 수열 $\{ S_n \}$의 부분수열 $\{ S_{2^k} \}$ 에서

 

$S_{2^k} > S_{2^{k-1}} + 2^{k-1} \times (\frac{1}{2})^k > 1+ \frac{k}{2}$ 이다.

 

즉, $k \to \infty$ 일때 $1+\frac{k}{2} \to \infty$ 이므로 $\{ S_{2^{k}} \}$ 는 유계가 아니므로 $\{ S_n \}$은 유계가 아니다. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$은 발산하고 $p-$급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$는 발산한다.

 

따라서 $0< p \leq 1$일 때, $p-$급수는  발산한다.