로피탈 정리 증명하는 법
로피탈의 정리는 극한값을 구할 때 매우 유용한 공식이다. 특히 고등학생들이 풀이과정없이 극한값만을 구하려 할 때, 유용하게 쓰이는 대표적인 증명이다. 로피탈의 정리가 무엇인지, 그리고 그 증명방법에 대해 살펴보자. 부정형이란? 함수 $f(x)$와 $g(x)$ 가 $x=a$에서 연속, $f(a)=g(a)=0$이면, $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x}{g(x)}$를 계산할 때, $x=a$를 직접 대입할 수 없다. 즉, 함수 $\frac{f(x)}{g(x)}$의 극한값이 $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $\infty^0$, $1^\infty$, $0^0$ 등으로 표현될 때, 부정형이라..
2022. 11. 5.
롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)
롤의 정리란? 함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$ 이면, $f'(c)=0$ 를 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다. 롤의 정리 증명 $f(x)$를 두가지 경우로 나누어 증명한다. 1. $f(x)$ 가 상수함수일 때 모든 구간 $(a,b)$에서 $f'(x)=0$ 이므로 모든 $c \in (a,b)$에서 $f'(c)=0$ 이다. 2. $f(x)$ 가 상수함수가 아닐 때 최대, 최소 정리에 의해 $[a,b]$에서 $f(x)$ 의 최댓값, 최솟값이 존재한다. 조건에 의해 $f(a)=f(b)$ 이므로 최대값, 최솟값이 되는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다. $f(x)$가 $x=c$에서 최대이면, 모..
2022. 11. 5.
