728x90 수학768 볼차노 바이어슈트라스 정리(B-W 정리) 증명하기 볼차노 바이어슈트라스 정리 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 증명방법 $x_n$을 유계 수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $|x_n| \leq M $을 만족한다. 이 때, $[-M,0]$, $[0.M]$ 중 적어도 하나는 무한개의 항을 포함한다. 무한개 $x_n$ 이 있는 구간을 $I_1$ 이라고 하고, $I_1$에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_1}$ 이라 하자. 다시 $I_1$을 절반으로 나누고 무한개의 항이 있는 쪽을 $I_2$라고 하자. $I_2$ 에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_2}$ 라 하자. 이 과정을 반복하면, $I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots $ 이고, 구간 $I_n$의 길.. 2022. 11. 4. 축소구간정리 증명하기 축소구간정리는 완비성공리, 단조수렴정리, 코시수열의 수렴과 동치이다. 축소구간정리의 증명방법을 간단하게 살펴보자. 축소 구간 정리 공집합이 아닌 유계 닫힌구간열 $\{ I_n \}$ 에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이면, $\cap _{n=1} ^{\infty}I_n = I_1\cap I_2 \cap I_3 \cap \cdots \neq \emptyset$ 을 만족한다. 증명방법 닫힌 구간열을 $I_n = [a_n,b_n]$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$ 이므로 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq .. 2022. 11. 4. 완비성 공리(완전히 갖추어진 성질) 알아보기 완비성 공리 $R$이 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 위로 유계이면, 반드시 그 상한이 존재한다. (공집합이 아닌 실수의 부분집합 $S$ 의 모든 원소보다 큰 수들의 최솟값을 실수로 표시할 수 있다.) ※ 완비성 공리는 유리수 집합과 실수 집합을 구분 짓는 뚜렷한 성질이다. 유계 (bounded) $A \subset R$, $A \neq \emptyset$ 일 때, 모든 $x \in A$에 대하여 $x \leq r$ 인 실수 $r$ 이 존재할 때, $A$ 는 위로 유계(상계-upper bounded, bounded from above)라고 한다. $A \subset R$, $A \neq \emptyset$ 일 때, 모든 $x \in A$에 대하여 $x \geq r$ 인 실수 $r$ 이 존재할 때, $A$.. 2022. 11. 2. 2배각, 3배각 공식 증명하기(삼각함수의 배각공식) 삼각함수와 관련된 다양한 계산을 하기 위해 삼각함수의 형태를 다르게 변형해야 할 경우가 있다. 여러 공식들 중 삼각함수의 배각공식을 알아보자. 1. 삼각함수의 2배각 공식 $ \rm sin 2\alpha = 2 \rm sin \alpha cos \alpha$ $ \rm cos2 \alpha= cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$ $=2 \rm cos^2 \alpha -1$ $=1-2\rm sin^2 \alpha$ $ \rm tan 2\alpha = \frac{2tan \alpha}{1-tan^2 \alpha}$ 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면, 사인 2배각 공식을 쉽게 증명할 수 있다. $\rm sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos \alpha sin .. 2022. 10. 31. 이전 1 ··· 181 182 183 184 185 186 187 ··· 192 다음 728x90
