축소구간정리 증명하기

축소구간정리는 완비성공리, 단조수렴정리, 코시수열의 수렴과 동치이다. 축소구간정리의 증명방법을 간단하게 살펴보자.

축소 구간 정리

공집합이 아닌 유계 닫힌구간열 $\{ I_n \}$ 에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이면, 

$\cap _{n=1} ^{\infty}I_n = I_1\cap I_2 \cap I_3 \cap \cdots \neq \emptyset$ 을 만족한다.

 

증명방법

닫힌 구간열을 $I_n = [a_n,b_n]$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$ 이므로

$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1 $ 이다.

집합 $S=\{ a_n | n \in N \}$ 은 $b_1$ 에 의해서 유계이므로 완비성 공리에 의해 $\rm sup S= \it alpha$ 가 존재한다. $\alpha$ 는 $S$ 의 최소 상계(상한) 이므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \leq \alpha$ 이다. 또한 $b_n$ 은 $S$ 의 상계이므로 $\alpha \leq b_n$ 이다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq \alpha \leq b_n$ 이므로 $\alpha \cap _{n=1}^{\infty}I_n$ 이다.

 

따라서 $\cap _{n=1}^{\infty} I_n = \emptyset$ 이다.

상한

증명 Tip

축소구간정리는 말 그대로 닫힌 구간열이 축소하는 그림을 그린 후에 a_n 의 집합이 완비성 공리에 의해 상한이 존재하고, 이 상한은 모든 자연수 a_n, b_n의 사이에 있으니까 공집합이 아니라고 증명하면 된다. S 집합의 상한이 존재한다는 것을 완비성 공리를 이용해 보인다고 기억만 해도 증명을 기억하기 쉬울 것이다.

 

<완비성공리>

완비성 공리(완전히 갖추어진 성질) 알아보기 (tistory.com)

완비성 공리(완전히 갖추어진 성질) 알아보기