완비성 공리(완전히 갖추어진 성질) 알아보기

완비성 공리

$R$이 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 위로 유계이면, 반드시 그 상한이 존재한다.

(공집합이 아닌 실수의 부분집합 $S$ 의 모든 원소보다 큰 수들의 최솟값을 실수로 표시할 수 있다.)

 

※ 완비성 공리는 유리수 집합과 실수 집합을 구분 짓는 뚜렷한 성질이다.

완비성공리

유계 (bounded)

$A \subset R$, $A \neq \emptyset$ 일 때, 모든 $x \in A$에 대하여 $x \leq r$ 인 실수 $r$ 이 존재할 때, $A$ 는 위로 유계(상계-upper bounded, bounded from above)라고 한다.

$A \subset R$, $A \neq \emptyset$ 일 때, 모든 $x \in A$에 대하여 $x \geq r$ 인 실수 $r$ 이 존재할 때, $A$ 는 아래로 유계(하계-lower bounded, bounded from below) 라고 한다.

$A$가 위로 유계(상계), 아래로 유계(하계)이면, 유계라고 한다.

 

최소상계, 최대 하계

상한, 하한

상한(최소 상계) -> 기호는 supA

하한(최대 하계) -> 기호는 infA

$ \{x \in Q | x^2 <2 \}$ 유리수는 $\sqrt{2}$를 정의할 수 없으므로 완비성이 없다.

 

완비성 공리, 단조수렴정리, 축소구간정리, 코시수열의 수렴은 모두 동치이다.