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수학

헤론의 공식 증명하기

by 여행과 수학 2022. 10. 24.
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삼각형의 세 변의 길이가 주어진 경우에 넓이를 구하는 방법이 헤론의 공식이다.

 

헤론의 공식

헤론의 공식
헤론의 공식

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 아래와 같다.

S=12bcsinA

 

헤론의 공식 유도하는 방법

sin2A=1cos2A=(1+cosA)(1cosA)

=(1+b2+c2a22bc)(1b2+c2a22bc) (제2코사인법칙)

=((b+c)2a22bc)(a2(bc)22bc)

=14b2c2(a+b+c)(a+b+c)(ab+c)(a+bc)

 

2s=a+b+c 라 하면,

2(sa)=a+b+c

2(sb)=ab+c

2(sc)=a+bc 이고,

 

sin2A =14b2c2×2s×2(sa)×2(sb)×2(sc)

=4b2c2×s(sa)(sb)(sc)

 

sinA =2bcs(sa)(sb)(sc)

 

따라서 S=12bcsinA =s(sa)(sb)(sc) (단, s=a+b+c2)

 

 

 

 

 

 

 

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