일반적인 이차곡선의 접선의 방정식 유도하기

이차곡선(Quadratic Curve)이란 이차식을 도형의 방정식으로 가지는 곡선을 말한다.(ex 원, 포물선, 타원, 쌍곡선)

 

이차곡선의 일반식

$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$

 

이차곡선 위의 한 점 $(x_1,y_1)$ 을 지나는 접선의 방정식을 찾을 수 있을까?

일반적인 이차곡선 위의 한 점이 주어져 있을 때, 그 점을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

 

이차곡선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$

$(x_1,y_1)$에서 접선의 방정식

$Ax_1x+By_1y+C(\frac{x_1y+xy_1}{2})+D(\frac{x+x_1}{2})+E(\frac{y+y_1}{2})+F=0$

 

접선의 방정식을 유도하는 방법

양 변을 $x$에 대해서 미분하면,

$2Ax+2By\cdot\frac{dy}{dx}+Cy+Cx\cdot\frac{dy}{dx}+D+E\cdot\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2Ax-Cy-D}{2By+Cx+E}$

$(x_1,y_1)$ 위를 지나는 접선의 방정식은

$y-y_1=m(x-x_1)$ 이고, 기울기 $m$의 값은

$m=\frac{-2Ax_1-Cy_1-D}{2By_1+Cx_1+E}$ 이므로

$y-y_1=\frac{-2Ax_1-Cy_1-D}{2By_1+Cx_1+E}(x-x_1)$

$(2By_1+Cx_1+E)(y-y_1)=-(2Ax_1+Cy_1+D)(x-x_1)$

$2By_1y-2By_1^2+Cx_1y-Cx_1y_1+Ey-Ey_1$

$=-2Ax_1x-Cy_1x-Dx+2Ax_1^2+Cx_1y_1+Dx_1$

$(2Ax_1+Cy_1+D)x+(2By_1+Cx_1+E)y-(2Ax_1^2+2By_1^2+2Cx_1y_1+Dx_1+Ey_1)=0$

이때 $2Ax_1^2+2By_1^2+2Cx_1y_1+Dx_1+Ey_1=-Dx_1-Ey_1-2F$ 이므로 이를 대입하면,

 

$(\because Ax_1^2+By_1^2+Cx_1y_1+Dx_1+Ey_1+F=0$

$\Rightarrow2Ax_1^2+2By_1^2+2Cx_1y_1+2Dx_1+2Ey_1+2F=0$

$\Rightarrow2Ax_1+2By_1^2+2Cx_1y_1+Dx_1+Ey_1=-Dx_1-Ey_1-2F)$

 

따라서 $(2Ax_1+Cy_1+D)x+(2By_1+Cx_1+E)y+Dx_1+Ey_1+2F=0$

$\Rightarrow2Ax_1x+2By_1y+Cx_1y+Cxy_1+D(x+x_1)+E(y+y_1)+2F=0$

$Ax_1x+By_1y+2\frac{x_1y+xy_1}{2}+D\frac{x+x_1}{2}+E\frac{y+y_1}{2}+F=0$

 

이차곡선 $Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은

$Ax_1x+By_1y+C(\frac{x_1y+xy_1}{2})+D(\frac{x+x_1}{2})+E(\frac{y+y_1}{2})+F=0$ 이다.