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수학

일반적인 이차곡선의 접선의 방정식 유도하기

by 여행과 수학 2022. 10. 23.
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이차곡선(Quadratic Curve)이란 이차식을 도형의 방정식으로 가지는 곡선을 말한다.(ex 원, 포물선, 타원, 쌍곡선)

 

이차곡선의 일반식

Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0

 

이차곡선 위의 한 점 (x1,y1) 을 지나는 접선의 방정식을 찾을 수 있을까?

일반적인 이차곡선 위의 한 점이 주어져 있을 때, 그 점을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

 

이차곡선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0

(x1,y1)에서 접선의 방정식

Ax1x+By1y+C(x1y+xy12)+D(x+x12)+E(y+y12)+F=0

 

접선의 방정식을 유도하는 방법

양 변을 x에 대해서 미분하면,

2Ax+2Bydydx+Cy+Cxdydx+D+Edydx=0

dydx=2AxCyD2By+Cx+E

(x1,y1) 위를 지나는 접선의 방정식은

yy1=m(xx1) 이고, 기울기 m의 값은

m=2Ax1Cy1D2By1+Cx1+E 이므로

yy1=2Ax1Cy1D2By1+Cx1+E(xx1)

(2By1+Cx1+E)(yy1)=(2Ax1+Cy1+D)(xx1)

2By1y2By21+Cx1yCx1y1+EyEy1

=2Ax1xCy1xDx+2Ax21+Cx1y1+Dx1

(2Ax1+Cy1+D)x+(2By1+Cx1+E)y(2Ax21+2By21+2Cx1y1+Dx1+Ey1)=0

이때 2Ax21+2By21+2Cx1y1+Dx1+Ey1=Dx1Ey12F 이므로 이를 대입하면,

 

(Ax21+By21+Cx1y1+Dx1+Ey1+F=0

2Ax21+2By21+2Cx1y1+2Dx1+2Ey1+2F=0

2Ax1+2By21+2Cx1y1+Dx1+Ey1=Dx1Ey12F)

 

따라서 (2Ax1+Cy1+D)x+(2By1+Cx1+E)y+Dx1+Ey1+2F=0

2Ax1x+2By1y+Cx1y+Cxy1+D(x+x1)+E(y+y1)+2F=0

Ax1x+By1y+2x1y+xy12+Dx+x12+Ey+y12+F=0

 

이차곡선 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0위의 점 (x1,y1)에서의 접선의 방정식은

Ax1x+By1y+C(x1y+xy12)+D(x+x12)+E(y+y12)+F=0 이다.

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