볼차노 바이어슈트라스 정리(B-W 정리) 증명하기

볼차노 바이어슈트라스 정리

유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.

 

증명방법

$x_n$을 유계 수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $|x_n| \leq M$을 만족한다. 이 때, $[-M,0]$, $[0.M]$ 중 적어도 하나는 무한개의 항을 포함한다. 무한개 $x_n$ 이 있는 구간을 $I_1$ 이라고 하고, $I_1$에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_1}$ 이라 하자. 다시 $I_1$을 절반으로 나누고 무한개의 항이 있는 쪽을 $I_2$라고 하자. $I_2$ 에 속한 $x_n$ 중 가장 작은 것을 $x_{n_2}$ 라 하자. 이 과정을 반복하면, $I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots$ 이고, 구간 $I_n$의 길이는 $l=\frac{M}{2^{n-1}}$ 이므로 $\lim_{n \to \infty} l(n) =0$ 이다. 따라서 축소구간정리에 의해 모든 구간 $I_n$ 의 공통원소 $A$가 존재한다. 이 때, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $x_{n_k} \in I_{n_k}$, $A \in I_k$ 가 성립한다. 따라서 $0 \leq |x_{n_k}-A| < \frac{M}{2^{k-1}}$ 이면, $\lim_{n \to \infty} |x_{n_k}-A|=0$ 이다. 즉, $\lim_{k \to \infty} x_{n_k}=A$ 이다. 따라서 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

 

유계인 수열이 있다면, 반드시 수렴하는 부분수열을 갖는다. 이는 완비성이 갖추어진 집합에서 성립한다. 왜냐하면, 완비성 공리가 성립해야 하는 축소구간정리를 사용해서 볼차노 바이어슈트라스 정리를 증명하기 때문이다.

 

<축소구간정리>

축소구간정리 증명하기 (tistory.com)

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