자연상수 e가 무리수인 이유 알아보기

자연상수 e의 정의

1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$

2. $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

3. $\int_{1}^e\frac{1}{x}dx=e$

 

자연상수 e가 무리수인 이유

e의 테일러 급수를 이용하여 e가 무리수인 이유를 증명해보자.

 

$e^x$의 테일러급수 식은

$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}+ \cdots$

$x=1$을 대입하면,

$e^x=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \cdots +\frac{1}{n!}+\cdots$

 

이제 $e$가 유리수라고 가정하자. $e=\frac{m}{n}$으로 나타내자. ( $m, n$ 은 정수)

$e=\frac{m}{n}=(1+\frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}) + (\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots)$

 

양변에 $n!$ 을 곱하면,

$m(n-1)!=(n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\cdots+\frac{n!}{n!})+(\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots)$

$m(n-1)!$와 $n!+\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2!}+\cdots + \frac{n!}{n!}$ 는 모두 정수이고

$0<\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$

$< \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+1)}+\cdots$

$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+3)^3}+\cdots$

$=\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}<1$

 

따라서 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$ 는 소수이다.

$m(n-1)! = (n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\cdots + \frac{n!}{n!}) +(\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \cdots)$

 

이는 $e$가 유리수라는 가정에 모순이다. 따라서 $e$는 무리수이다.