직선과 직선 사이의 각 구하는 2가지 방법 알아보기

직선과 직선이 한 점에서 만난다면 각이 생긴다. 평행한 경우를 제외하면 각이 생기는데, 이 각을 구하는 2가지 방법을 알아보자.

두 직선 사이의 각 구하는 방법

예를 들어 설명해보면, 간단한 두 직선 $y=\sqrt{3}x$, $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 를 이용해서 두 직선 사이의 각을 구해보자.

 

방법1. 벡터의 내적

두 법선벡터 사이의 각

직선의 방정식을 일반형으로 변형하면 각각 $\sqrt{3}x-y=0$, $x-\sqrt{3}y=0$ 이다.

이를 이용하면, 직선의 법선벡터는 각각 $(\sqrt{3},-1)$, $(1,-\sqrt{3})$ 으로 표현할 수 있다.

이 두 법선벡터를 내적하면,

$(\sqrt{3},-1) \cdot (1,-\sqrt{3}) = (\sqrt{3} \times 1)+(-1 \times -\sqrt{3})=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3},-1) \cdot (1, -\sqrt{3} )$ $= \sqrt{ \sqrt{3}^2 + (-1)^2} \times \sqrt{1^2+(- \sqrt{3})^2 } \rm cos \theta =4 cos \theta$

따라서 $4\cos \theta = 2\sqrt{3}$ 이다.

$\rm cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$

 

따라서 두 직선 사이의 각은 $30^{\circ}$ 이다.

 

방법2. 삼각함수의 덧셈정리

두 직선의 기울기

직선의 기울기를 구해보면 tan 값이 된다. 따라서 $\tan \alpha = \sqrt{3}$ 이고, $\tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 을 만족한다. 따라서 두개의 직선 사이의 각을 구해보면, $\alpha - \beta$ 이다. 이를 탄젠트 삼각함수 덧셈정리를 이용해 표현하면,

 

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta}$

$=\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

 

따라서 두 직선 사이의 각은 $30^{\circ}$ 이다.