미분 공식 정리(미분공식 모음)

1. 도함수의 정의

어떤 구간에서 미분가능한 함수 $y=f(x)$에 대하여

 

$f'(x) = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x) -f(x)}{\bigtriangleup x}$

를 $x$에 관한 $y$의 도함수라고 한다.

 

2. 미분법 공식 (1)

(1) $y=x \Rightarrow y' =1$

(2) $y=x^n \Rightarrow y'=nx^{n-1}$

(3) $y=cf(x) \Rightarrow y'=cf'(x)$

 

3. 미분법의 공식 (2)

(1) $y=f(x) \pm g(x) \Rightarrow y' = f'(x) \pm g'(x)$

(2) $y=f(x)g(x) \Rightarrow y'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(3) $y=f(x)g(x)h(x)$

     $\Rightarrow y' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

 

4. 몫의 미분법

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$에서 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능할때

$y' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$

 

5. 합성함수의 미분법

두 함수 $y=f(x)$, $u=g(x)$가 미분가능할때 $y=f(g(x))$의 도함수

$y'=f'(g(x))g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

 

6. 역함수의 미분법

함수 $y=f(x)$가 미분가능하고 그 역함수가 $x=g(y)$이면

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,    $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

 

7. 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법

$x=f(t)$, $y=g(t)$가 $t$에 대해 미분가능하면

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$

 

8. 삼각함수의 도함수

(1) $y= \sin x \Rightarrow y' = \cos x$

(2) $y= \cos x \Rightarrow y' = -\sin x$

(3) $y= \tan x \Rightarrow y' = \sec ^2 x$

(4) $y= \cot x \Rightarrow y' = - \csc ^2 x$

(5) $y= \sec x \Rightarrow y' = \sec x \tan x$

(6) $y= \csc x \Rightarrow y' = -\csc x \cot x$

 

9. 로그함수의 도함수

(1) $y= \ln x \Rightarrow y' = \frac{1}{x}$

(2) $y= \ln |f(x)| \Rightarrow y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

(3) $y= \log _a x \Rightarrow y'= \frac{1}{x \ln a}$

(4) $y= \log _a |f(x)| \Rightarrow y' = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a}$

 

10. 지수함수의 도함수 

(1) $y=e^x \Rightarrow y' = e^x$

(2) $y=e^{f(x)} \Rightarrow y' = e^{f(x)}f'(x)$

(3) $y=a^x \Rightarrow y' = a^x \ln a$

(4) $y=a^{f(x)} \Rightarrow y' = a^{f(x)}f'(x) \ln a$

 

11. 접선의 방정식

곡선 $y=f(x)$위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식

$y-f(a) = f'(a) (x-a)$

 

12. 롤의 정리

롤의 정리

함수 $y=f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할 때 $f(a)=f(b)$이면, $f'(c)=0$을 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재한다.

 

13. 평균값정리

평균값정리

함수 $y=f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할 때

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$를 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재한다.

 

14. 로피탈의 정리

함수 $f(x)$, $g(x)$가 $x=a$를 포함하는 구간에서 미분가능하고

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$이면,

 

$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

 

15. 함수의 증가와 감소

함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 어떤 구간에서

(1) $f'(x)>0$ 이면, $f(x)$는 구간에서 증가함수

(2) $f'(x)<0$ 이면, $f(x)$는 구간에서 감소함수

 

16. 이계도함수

함수 $y=f(x)$에서 $f'(a)=0$이고

(1) $f''(x)>0$이면, $f(x)$는 $x=a$에서 극소

(2) $f''(x)<0$이면, $f(x)$는 $x=a$에서 극대

 

17. 오목, 볼록

함수 $y=f(x)$가 어떤 구간에서 항상

(1) $f''(x)>0$ 이면, $f(x)$는 구간에서 아래로 볼록(위로 오목)

(2) $f''(x)<0$ 이면, $f(x)$는 구간에서 위로 볼록(아래로 오목)

 

<참고자료>

코시의 평균값 정리 알아보기

로피탈 정리 증명하는 법

롤의 정리 증명하기(Roll's theorem)