대수 공식 정리(유용한 공식들 모음)

1. 연산법칙

(1) 결합법칙 : $a+(b+c) = (a+b)+c$,   $a(bc) = (ab)c$

(2) 교환법칙 : $a+b = b+a$,    $ab=ba$

(3) 분배법칙 : $a(b+c) = ab+ac$

 

2. 분수계산

(1) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

(2) $\frac{a-b}{c-d} = \frac{b-a}{d-c}$

(3) $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}$

 

3. 이차방정식의 근의 공식

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$이고, $a \neq 0$일 때,

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 이다.

 

4. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계

삼차방정식 $ax^2+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하면,

 

(1) $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha =\frac{c}{a}$

(3) $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

 

5. 지수계산(1)

(1) $a^na^m = a^{m+n}$

(2) $(a^n)^m =a^{nm}$

(3) $(ab)^n = a^nb^n$

(4) $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

(5) $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n = \frac{b^n}{a^n}$

 

6. 지수계산(2)

(1) $a^0 =1$, ($a \neq 0$)

(2) $a^{\frac{n}{m}} = (a^n)^{\frac{1}{m}} = (a^{\frac{1}{m}})^n$

(3) $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

 

7. 제곱근 계산(1)

(1) $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

(2) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

(3) $\sqrt[n]{ab}= \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$

(4) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

 

8. 제곱근 계산(2)

(1) $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

(2) $\sqrt[n]{a^n} = a$ ($n$은 홀수)

(3) $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ ($n$은 짝수)

 

9. 로그계산(1)

(1) $n = \log_x m \Rightarrow m=x^n$

(2) $\log_x x =1$,     $\log_x 1 =0$

(3) $\log_m m^x =x$

(4) $m^{\log_m x} =x$

 

10. 로그계산(2)

(1) $\log_n m =\frac{\log_x m }{\log_x n}$

(2) $\log_m (x)^n = n \log_m x$

(3) $\log_x mn = \log_x m + \log_x n$

(4) $\log_x (\frac{m}{n}) = \log_x m - \log_x n$

 

11. 곱셈공식의 변형

(1) $x^2 + y^2 = (x \pm y)^2 \mp 2xy$

(2) $x^3 \pm y^3 = (x \pm y)^3 \mp 3xy(x \pm y)$

(3) $x^2 +y^2 +z^2 = (x+y+z)^2 -2(xy+yz+zx)$

 

12. 인수분해 공식

(1) $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$

(2) $x^2 \pm 2xy +y^2 =(x \pm y)^2$

(3) $x^3 + 3x^2 y +3xy^2+y^3 = (x+y)^3$

(4) $x^3 \pm y^3  = (x \pm y) ( x^2 \mp xy +y^2)$

(5) $x^4 + x^2y^2 +y^4 = (x^2 +xy+y^2 )(x^2 -xy+y^2)$

(6) $x^3 + y^3 +z^3 -3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy-yz-zx)$

 

13. 복소수 계산

(1) $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$, ($a \geq 0$)

(2) $(a+bi)\pm (c+di) = a \pm c + (b \pm d) i$

(3) $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$

(4) $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

(5) $\overline{a+bi} = a-bi$

(6) $(a+bi)\overline{(a+bi)} = |a-bi|^2$

 

14. 절댓값 성질

$a$, $b$가 실수일때

(1) $|a| >0$

(2) $|-a| = |a|$

(3) $|a|^2 = a^2$

(4) $|ab| = |a| |b|$

(5) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$

 

15. 절댓값 계산

$a$, $b$ 가 실수일때

$|a| + |b| \geq |a+b| \geq ||a|-|b||$

 

16. 가우스 기호

$x$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[x]$ 라 할 때,

$n \leq x < n+1$이면 $[x] = n$이다. (단, $n$은 정수이다.)

 

17. 산술, 기하, 조화평균

두 양수 $a>0$, $b>0$에 대해서

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ (※ 등호는 $a=b$ 일때 성립한다.)

 

18. 코시-슈바르츠 부등식

$a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ 가 실수일때

(1) $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2$

(단, 등호는 $a:b = x:y$에서 성립한다.)

(2) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq (ax+by+cz)^2$

(단, 등호는 $a:b:c = x:y:z$에서 성립한다.)