1. 부정적분의 정의
∫f(x)dx=F(x)+C (단, C는 적분상수)
이때 F(x)를 f(x)의 부정적분이라 한다.
2. 부정적분의 공식
(1) ∫kdx=kx+C
(2) ∫xndx=1n+1xn+1+C (단, n≠−1)
(3) ∫1xdx=ln|x|+C
(4) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
(5) ∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
3. 삼각함수의 부정적분
(1) ∫sinxdx=−cosx+C
(2) ∫cosxdx=sinx+C
(3) ∫sec2xdx=tanx+C
(4) ∫csc2xdx=−cotx+C
(5) ∫secxtanxdx=secx+C
(6) ∫cscxcotxdx=−cscx+C
4. 지수함수의 부정적분
(1) ∫exdx=ex+C
(2) ∫axdx=axlna+C
5. 치환적분법
미분가능한 함수 g(t)에 대하여 x=g(t)라 하면
∫f(x)dx=∫f(g(t))g′(t)dt
6. 부분적분법
∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx
7. 로그함수의 부정적분
∫lnxdx=xlnx−x+C
8. 정적분의 기본정리
함수 f(x)의 부정적분 중 하나를 F(x)라 하면
∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)
9. 정적분의 성질
(1) ∫aaf(x)dx=0
(2) ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
(3) ∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx
(4) ∫ba{f(x)±g(x)}dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
(5) ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
(6) ∫βαa(x−α)(x−β)dx=−a6(β−α)3=a6(α−β)3
10. 기함수, 우함수의 정적분
(1) f(x)가 기함수이면, ∫a−af(x)dx=0
(2) f(x)가 우함수이면, ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx
11. 정적분으로 정의된 함수
(1) lim
(2) \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)
12. 무한급수의 정적분 표현
(1) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{(b-a)}{n}k) \cdot \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)dx
(2) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f(a+\frac{p}{n}k) \cdot \frac{p}{n} = \int_a^{a+p} f(x)dx
13. 두 곡선 사이의 넓이
(1) 구간 [a,b]에서 f(x) \geq g(x)일 때, y=f(x)와 y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S_1은
S_1 = \int_a^b \{ f(x)-g(x) \}
(2) 구간 [c,d]에서 f(y) \geq g(y)일 때, x=f(y)와 x=g(y)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S_2는
S_2 = \int_c^d \{ f(y)-g(y) \} dy
14. 입체의 부피
x축에 수직인 평면으로 어떤 입체를 자를 때, 자른 단면의 넓이가 S(x)이면, 이 입체의 x=a와 x=b (단, a<b) 사이에 있는 부분의 부피 V는
V = \int_a^b S(x)dx
15. 회전체의 부피
(1) 곡선 y=f(x) (단, a \leq x \leq b ) 를 x축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 V_1이라고 하면,
V_1 = \int_a^b \pi y^2 dx = \int_a^b \pi \{ f(x) \}^2 dx
(2) 곡선 x=g(y) (단, c \leq y \leq d ) 를 y축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 V_2라고 하면,
V_2 = \int_a^b \pi x^2 dy = \int_a^b \pi \{ g(y) \}^2 dy
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