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수학

적분 공식 정리(적분공식 모음)

by 여행과 수학 2022. 11. 22.
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1. 부정적분의 정의

f(x)dx=F(x)+C (단, C는 적분상수)

 

이때 F(x)f(x)의 부정적분이라 한다.

 

2. 부정적분의 공식

(1) kdx=kx+C

(2) xndx=1n+1xn+1+C (단, n1)

(3) 1xdx=ln|x|+C

(4) kf(x)dx=kf(x)dx

(5) {f(x)±g(x)}dx=f(x)dx±g(x)dx

 

3. 삼각함수의 부정적분

(1) sinxdx=cosx+C

(2) cosxdx=sinx+C

(3) sec2xdx=tanx+C

(4) csc2xdx=cotx+C

(5) secxtanxdx=secx+C

(6) cscxcotxdx=cscx+C

 

4. 지수함수의 부정적분

(1) exdx=ex+C

(2) axdx=axlna+C

 

5. 치환적분법

미분가능한 함수 g(t)에 대하여 x=g(t)라 하면

 

f(x)dx=f(g(t))g(t)dt

 

6. 부분적분법

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx

 

7. 로그함수의 부정적분

lnxdx=xlnxx+C

 

8. 정적분의 기본정리

함수 f(x)의 부정적분 중 하나를 F(x)라 하면

 

baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)F(a)

 

9. 정적분의 성질

(1) aaf(x)dx=0

(2) baf(x)dx=abf(x)dx

(3) bakf(x)dx=kbaf(x)dx

(4) ba{f(x)±g(x)}dx=baf(x)dx±bag(x)dx

(5) baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx

(6) βαa(xα)(xβ)dx=a6(βα)3=a6(αβ)3

 

10. 기함수, 우함수의 정적분

(1) f(x)가 기함수이면, aaf(x)dx=0

(2) f(x)가 우함수이면, aaf(x)dx=2a0f(x)dx

 

11. 정적분으로 정의된 함수

(1) lim

(2) \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)

 

12. 무한급수의 정적분 표현

(1) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{(b-a)}{n}k) \cdot \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)dx

(2) \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f(a+\frac{p}{n}k) \cdot \frac{p}{n} = \int_a^{a+p} f(x)dx

 

13. 두 곡선 사이의 넓이

(1) 구간 [a,b]에서 f(x) \geq g(x)일 때, y=f(x)y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S_1

 

S_1 = \int_a^b \{ f(x)-g(x) \}

 

(2) 구간 [c,d]에서 f(y) \geq g(y)일 때, x=f(y)x=g(y)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 S_2

 

S_2 = \int_c^d \{ f(y)-g(y) \} dy

 

14. 입체의 부피

x축에 수직인 평면으로 어떤 입체를 자를 때, 자른 단면의 넓이가 S(x)이면, 이 입체의 x=ax=b (단, a<b) 사이에 있는 부분의 부피 V

 

V = \int_a^b S(x)dx

 

15. 회전체의 부피

(1) 곡선 y=f(x) (단, a \leq x \leq b ) 를 x축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 V_1이라고 하면,

 

V_1 = \int_a^b \pi y^2 dx = \int_a^b \pi \{  f(x) \}^2 dx

 

(2) 곡선 x=g(y) (단, c \leq y \leq d ) 를 y축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 V_2라고 하면,

 

V_2 = \int_a^b \pi x^2 dy = \int_a^b \pi \{  g(y) \}^2 dy

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