본문 바로가기
728x90

수학794

나눗셈 정리와 그 증명법 알아보기 목, 나머지, 배수, 약수 알아보기 $q$, $r$을 각각 $b$를 $a$로 나눈 몫과 나머지라 한다. 두 정수 $a$, $b$에 대해서 $a$가 $b$를 나눈다는 것은 $b=ac$를 만족시키는 $c$가 존재할때이다. 기호로 $a|b$ 라 나타낸다. 이때 $b$를 $ a$의 배수, $a$를 $b$의 약수라 한다. 나눗셈 정리란? 임의로 주어진 양의 정수 $a$와 정수 $b$에 대해서 $b=aq+r$ ($0 \leq r < a$)를 만족시키는 정수 $q, r$이 유일하게 존재한다. 증명방법 (1) 존재성 증명 집합 $S= \{ b-na | n \in Z, b-na \geq 0 \}$ 는 공집합이 아니고 $S \subset N \cup \{ 0 \}$이므로 집합 $S$에는 최소 원소가 존재한다. (정렬성의 .. 2022. 12. 31.
선형점화식과 일반적인 점화식 풀이 방법 알아보기 선형점화식이란? 수열 $\{ a_n \}$에 대해 인접한 $k$개의 항 사이에 다음 관계식이 성립한다면, 선형점화식이라 한다. $p_0a_n + p_1a_{n-1} + p_2 a_{n-2} + \cdots + p_{k-1}a_{n-k+1} = 0$ (단, $n \geq k$이고 $p_0 \neq 0$, $p_1$, $p_2$ , $\cdots $, $p_{k-1}$은 상수) 점화식을 일반적인 해법은 점화식에 대응하는 특성방정식을 찾은 후 근과 수열 사이의 관계를 이용해 점화식을 푸는 것이다. 선형점화식에서 특성방정식은 $p_0 x^{k-1} + p_1x^{k-2} + p_2x^{k-3} + \cdots + p_{k-2}x + p_{k-1} =0$이다. 이 방정식의 $k-1$개 근을 이용해 수열의 일반항을.. 2022. 12. 30.
젠센부등식과 그 증명방법 알아보기 젠센부등식이란? 함수 $f(x)$가 구간 $I$에서 아래로 볼록하면 $i=1,2, \cdots , n$에 대해 $x_1 \in I$이고 $w_1 >0$, $w_1+w_2+ \cdots + w_n =1$일 때 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots + w_nf(x_n) \geq f(w_1x_1+w_2x_2 + \cdots + w_nx_n)$이 성립한다. 또한 $w=\frac{1}{n}$이면 $\frac{1}{n} (f(x_1)+f(x_2)+ \cdots + f(x_n)) \geq f(\frac{x_1+x_2+ \cdots + x_n}{n})$ 이다. 증명방법 수학적 귀납법으로 증명한다. $n=2$일 때 볼록함수의 정의에 의해 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2) \geq (w_1x_1 + w_.. 2022. 12. 29.
코시 슈바르츠 부등식과 그 증명방법 알아보기 코시슈바르츠 부등식 임의의 실수 $a_1, a_2, \cdots, a_n$과 $b_1, b_2, \cdots , b_n$에 대하여 $(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$이 성립한다. 이때 등호는 $b_i = ma_i$ ($i=1,2,3, \cdots, n$)일때 성립한다. 증명 $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2 =0$이라 하자. $a_1 = a_2 = \cdots = a_n =0$이므로 등호가 성립한다. $a_1^2 + a_2^2 +a_3^2 + \cdots +a_n^2 \neq 0$이라 하면, 이차다항식 $p(x) .. 2022. 12. 28.
728x90

티스토리툴바